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Congruences de Ramanujan

En mathématiques, les congruences de Ramanujan sont des congruences remarquables à propos de la fonction de partition p(n). Le mathématicien Srinivasa Ramanujan a découvert les congruences[1]:

Cela signifie que

  • Si un nombre est congru à 4 modulo 5, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite
4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .
alors le nombre de ses partitions est un multiple de 5.
  • Si un nombre est congru à 5 modulo 7, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite
5, 12, 19, 26, 33, 40, . . .
alors le nombre de ses partitions est un multiple de 7.
  • Si un nombre est congru à 6 modulo 11, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite
6, 17, 28, 39, 50, 61, . . .
alors le nombre de ses partitions est un multiple de 11.

Contexte

Dans son article de 1919[2], il donne la preuve des deux premières congruences en utilisant les identités suivantes (en utilisant la notation de Q-symbole de Pochhammer):

Il dit ensuite qu'« il semble qu'il n'y ait pas de propriétés d'une simplicité égale pour d'autres nombres premiers que ceux-ci ».

Après la mort de Ramanujan, en 1920, G.H. Hardy a extrait les preuves des trois congruences d'un manuscrit inédit de Ramanujan sur p(n) (Ramanujan, 1921). La preuve emploie la série d'Eisenstein.

En 1944, Freeman Dyson définit la fonction de rang et conjecture l'existence d'une fonction crank pour les partitions qui fournirait une preuve combinatoire des congruences de Ramanujan modulo 11. Quarante ans plus tard, George Andrews et Frank Garvan ont trouvé une telle fonction et prouvé simultanément les trois congruences de Ramanujan modulo 5, 7 et 11.

Dans les années 1960, A. O. L. Atkin à l'Université de l'Illinois à Chicago a découvert des congruences supplémentaires pour de petits nombres premiers. Par exemple:

en prolongeant les résultats de A. Atkin, Ken Ono en 2000 a prouvé qu'il y a de telles congruences de Ramanujan pour chaque entier premier avec 6. Par exemple, ses résultats donnent

; en 2005, son élève Karl Mahlburg a amélioré encore ces résultats, en explicitant le crank.

Une explication conceptuelle de l'observation de Ramanujan a finalement été découverte en janvier 2011[3] en considérant la dimension de Hausdorff de la fonction suivante dans la topologie l-adique:

On voit qu'il n'a de dimension 0 que dans les cas où ℓ = 5, 7 ou 11 et puisque la fonction de partition peut être écrite comme une combinaison linéaire de ces fonctions[4] cela peut être considéré comme une formalisation et démonstration de l'observation de Ramanujan.

En 2001, R.L. Weaver a donné un algorithme efficace pour trouver les congruences de la fonction de partition, et a totalisé 76 065 congruences[5]. Ceci a été prolongé en 2012 par F. Johansson à 22 474 608 014 congruences[6], un exemple étant

Voir aussi

Références

  1. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 19 (« Partitions »), section 19.12.
  2. (en) S. Ramanujan, « Congruence properties of partitions », Mathematische Zeitschrift, vol. 9,‎ , p. 147–153 (DOI 10.1007/bf01378341).
  3. (en) Amanda Folsom, Zachary A. Kent et Ken Ono, « ℓ-Adic properties of the partition function », Advances in Mathematics, vol. 229, no 3,‎ , p. 1586 (DOI 10.1016/j.aim.2011.11.013).
  4. (en) J. H. Bruinier et K. Ono, « Algebraic Formulas for the Coefficients of Half-Integral Weight Harmonic Weak Maas Forms », Advances in Mathematics, vol. 246,‎ , p. 198-219 (arXiv 1104.1182, lire en ligne).
  5. (en) Rhiannon L. Weaver, « New congruences for the partition function », The Ramanujan Journal, vol. 5,‎ , p. 53 (DOI 10.1023/A:1011493128408).
  6. (en) Fredrik Johansson, « Efficient implementation of the Hardy–Ramanujan–Rademacher formula », LMS Journal of Computation and Mathematics, vol. 15,‎ , p. 341 (DOI 10.1112/S1461157012001088).

Liens externes

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