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Chapeaux chinois

En mathématiques, les chapeaux chinois sont une dénomination regroupant les familles de fonctions continues, affines par morceaux, définies sur la demi-droite permettant de donner des exemples de convergence simple non uniforme. Une famille de telles fonctions sur est donnée par exemple par :

Ces dernières forment également un contre-exemple classique au théorème de convergence dominée de Henri Lebesgue lorsqu'on oublie l'hypothèse de domination sur l'intervalle d'intégration, ici la demi-droite [1]. On trouve l'évocation de ces concepts chez Gustave Choquet[2] mais également chez son élève, Jean-Louis Ovaert.

Démonstration

Un calcul d'aire montre que l'intégrale sur de la fonction vaut . La limite simple de ces fonctions est la fonction nulle. On en déduit que l'hypothèse de domination n'est pas satisfaite.

Voir aussi

Références

  1. [PDF] Laurent Desvilettes, Les Méthodes Mathématiques pour la Physique
  2. Nicolas Bouleau, Dialogues autour de la création mathématique, Association Laplace-Gauss, p.93, 1997, disponible chez Hal

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