Cercles d'Apollonius

Apollonius de Perge propose de définir le cercle comme l'ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport des distances MA/MB reste constant, les points A et B étant donnés.

Démonstration du fait que ce lieu géométrique est bien un cercle, et construction de ce cercle :

• Solution sur (AB) : si k = 1, MA=k MB a une unique solution sur (AB) : le milieu de [AB]. Sinon le problème d'Apollonius MA = k MB a deux solutions sur (AB), disons C et son conjugué harmonique D par rapport à A et B ; D existe dès que C n'est pas le milieu de [AB].
• Solution hors de (AB) : Si MA/MB = k, alors MA/MB = CA/CB ; (MC) est alors la bissectrice de l'angle en M dans le triangle AMB. Mais on a aussi MA/MB = DA/DB et (MD) est la seconde bissectrice de l'angle en M dans AMB. En particulier le triangle CMD est rectangle en M et M est donc sur le cercle de diamètre [CD].
• Synthèse : Pour tout M du plan hors de (AB) les droites (MA), (MB), (MC) et (MD) forment un faisceau harmonique. Si de plus M est sur le cercle de diamètre [CD], on sait alors que (MC) et (MD) sont les bissectrices intérieures et extérieures en M du triangle AMB. On conclut avec la caractérisation de la bissectrice en termes de rapport.
• Le cercle de diamètre [CD] est le cercle d'Apollonius relativement aux points A et B et de rapport k.

On peut aussi remarquer que ce lieu est obtenu par l'annulation de la fonction scalaire de Leibniz ${\displaystyle MA^{2}-k^{2}MB^{2}}$ ; si ${\displaystyle G}$ est le barycentre de ${\displaystyle A(1)}$ et ${\displaystyle B(-k^{2})}$, le lieu est le cercle de centre ${\displaystyle G}$ et de rayon ${\displaystyle {\frac {k}{|k^{2}-1|}}AB}$.

Pour k variant, ces cercles forment un faisceau de cercles à points limites A et B.

Soit ABC un triangle. Le cercle c de centre O est circonscrit au triangle ABC.

Les bissectrices en A coupent [BC] en I₁ et J₁, le cercle c₁ de centre O₁ a pour diamètre [I₁J₁].

Les bissectrices en B coupent [AC] en I₂ et J₂, le cercle c₂ de centre O₂ a pour diamètre [I₂J₂].

Les bissectrices en C coupent [AB] en I₃ et J₃, le cercle c₃ de centre O₃ a pour diamètre [I₃J₃].

Le faisceau de cercles d'Apollonius est formé par les trois cercles c₁, c₂ et c₃ d'Apollonius qui ont en commun les deux points P et Q. Ce sont les points de base du faisceau.

Leurs centres O₁, O₂ et O₃ sont alignés sur la médiatrice de [PQ].

Le centre O du cercle circonscrit c et le point de Lemoine du triangle ABC sont situés sur la droite (PQ).

Les points Q (X15) et P (X16) sont les points isodynamiques du triangle ABC. Ce sont les conjugués isogonaux des points de Fermat (X14 et X13)

Le problème d'Apollonius, ou problème des contacts consiste à déterminer les cercles tangents à trois cercles donnés. En partant de trois cercles tangents deux à deux, et en itérant, on obtient une figure fracatale ; voir : Cercles d'Apollonius (fractale).

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, (ISBN 978-2-91-635208-4)
• Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
• Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, (ISBN 978-2-916352-12-1)