Catégorie de Kleisli
Une catégorie de Kleisli est une catégorie associée à une monade. Elle tient son nom du mathématicien suisse Heinrich Kleisli (en) qui l'a introduite à l'origine pour montrer que toute monade est issue d'une adjonction.
Définition
On considère une monade
sur une catégorie
. La catégorie de Kleisli
possède les mêmes objets que
mais les morphismes sont donnés par
![{\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY)}](https://img.franco.wiki/i/902ebc1fccbfdd112ea5c99aa3f9f4a6a600d132.svg)
L'identité est donnée par
, et la composition fonctionne ainsi : si
et
, on a
![g \circ f = \mu_Z \circ Tg \circ f](https://img.franco.wiki/i/26dd30d855c80b6331dceac02560c67f035a785d.svg)
qui correspond au diagramme :
![X \overset{f}{\longrightarrow} TY \overset{Tg}{\longrightarrow} TTZ \overset{\mu_Z}{\longrightarrow} TZ](https://img.franco.wiki/i/fd2dbf4a1897f02a23d26b4249b857a51f121d16.svg)
Les morphismes de
de la forme
sont parfois appelés morphismes de Kleisli.
Monades et adjonctions
On définit le foncteur
par :
![FX = X](https://img.franco.wiki/i/1aa2161d727e9ccf1cb6d2767b5c5661b5487e89.svg)
![F(f : X \to Y) = \eta_Y \circ f](https://img.franco.wiki/i/55415bbca5275a45b2b48fafb0ef760504a4a992.svg)
et un foncteur
par :
![GY = TY](https://img.franco.wiki/i/93224b908fe0abf6421e06df15038b93822c58ba.svg)
![G(f : X \to TY) = \mu_Y \circ Tf](https://img.franco.wiki/i/ff079b3725396c805e764c7590da931f77194f92.svg)
Ce sont bien des foncteurs, et on a l'adjonction
, la counité de l'adjonction étant
.
Enfin,
et
: on a donné une décomposition de la monade en termes de l'adjonction
.
T-algèbres
Avec les notations précédentes, une T-algèbre (ou T-module) est la donnée d'un objet x de
et d'un morphisme
tels que
![h \circ \mu_x = h \circ Th](https://img.franco.wiki/i/ff527d19972d172f98a58f01e1d88b06f510557a.svg)
![h \circ \eta_x = 1_x](https://img.franco.wiki/i/cd6883283f49853c766dbdcd92a01754c2ca0043.svg)
Un morphisme
de T-algèbres est une flèche
telle que
.
Les T-algèbres et leurs morphismes forment la catégorie d'Eilenberg-Moore
.
Le foncteur d'oubli
possède un adjoint à gauche
qui envoie tout objet y de
sur la T-algèbre libre
. Ces deux foncteurs forment également une décomposition de la monade initiale. Les T-algèbres libres forment une sous-catégorie pleine de
qui est équivalente à la catégorie de Kleisli.
On peut réinterpréter la catégorie de Kleisli d'un point de vue informatique :
- Le foncteur T envoie tout type X sur un nouveau type
;
- On dispose d'une règle pour composer deux fonctions
et
, donnée par la composition dans la catégorie de Kleisli, qui est associative et unitale. On obtient une fonction
;
- Le rôle de l'unité est joué par l'application pure
.
Référence
(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
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