Catégorie de Kleisli

On considère une monade ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ sur une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. La catégorie de Kleisli ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{T}}$ possède les mêmes objets que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mais les morphismes sont donnés par

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY)}$

L'identité est donnée par ${\displaystyle \eta }$, et la composition fonctionne ainsi : si ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)}$ et ${\displaystyle g\in \operatorname {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(Y,Z)}$, on a

${\displaystyle g\circ f=\mu _{Z}\circ Tg\circ f}$

qui correspond au diagramme :

${\displaystyle X{\overset {f}{\longrightarrow }}TY{\overset {Tg}{\longrightarrow }}TTZ{\overset {\mu _{Z}}{\longrightarrow }}TZ}$

Les morphismes de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de la forme ${\displaystyle X\to TY}$ sont parfois appelés morphismes de Kleisli.

On définit le foncteur ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{T}}$ par :

${\displaystyle FX=X}$

${\displaystyle F(f:X\to Y)=\eta _{Y}\circ f}$

et un foncteur ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}_{T}\to {\mathcal {C}}}$ par :

${\displaystyle GY=TY}$

${\displaystyle G(f:X\to TY)=\mu _{Y}\circ Tf}$

Ce sont bien des foncteurs, et on a l'adjonction ${\displaystyle F\dashv G}$, la counité de l'adjonction étant ${\displaystyle \varepsilon _{Y}=1_{TY}}$.

Enfin, ${\displaystyle T=GF}$ et ${\displaystyle \mu =G\varepsilon F}$ : on a donné une décomposition de la monade en termes de l'adjonction ${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$.

Avec les notations précédentes, une T-algèbre (ou T-module) est la donnée d'un objet x de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et d'un morphisme ${\displaystyle h:Tx\to x}$ tels que

${\displaystyle h\circ \mu _{x}=h\circ Th}$

${\displaystyle h\circ \eta _{x}=1_{x}}$

Un morphisme ${\displaystyle (h,x)\to (h',x')}$ de T-algèbres est une flèche ${\displaystyle f:x\to x'}$ telle que

${\displaystyle h'\circ Tf=f\circ h}$.

Les T-algèbres et leurs morphismes forment la catégorie d'Eilenberg-Moore ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}$.

Le foncteur d'oubli ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}\to {\mathcal {C}}}$ possède un adjoint à gauche ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{T}}$ qui envoie tout objet y de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sur la T-algèbre libre ${\displaystyle (Ty,\mu _{Y})}$. Ces deux foncteurs forment également une décomposition de la monade initiale. Les T-algèbres libres forment une sous-catégorie pleine de ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}$ qui est équivalente à la catégorie de Kleisli.

On peut réinterpréter la catégorie de Kleisli d'un point de vue informatique :

• Le foncteur T envoie tout type X sur un nouveau type ${\displaystyle T(X)}$ ;
• On dispose d'une règle pour composer deux fonctions ${\displaystyle f:X\to T(Y)}$ et ${\displaystyle g:Y\to T(Z)}$, donnée par la composition dans la catégorie de Kleisli, qui est associative et unitale. On obtient une fonction ${\displaystyle g\circ f:X\to T(Z)}$ ;
• Le rôle de l'unité est joué par l'application pure ${\displaystyle X\to T(X)}$.

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]