Carré magique plus que parfait
En mathématiques, un carré magique plus que parfait est un carré magique contenant les nombres 1 à n2 avec deux propriétés supplémentaires (où n désigne la taille du carré) :
- la somme sur chaque sous-carré de taille 2 × 2 vaut 2S où S = n2 + 1 ;
- la somme de chaque paire d'entiers distants de n/2 le long d'une diagonale (majeure) vaut S.
 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Carré magique plus que parfait dans le temple jaïn de Parshvanatha à Khajurâho. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tout carré magique plus que parfait est aussi un carré panmagique.
Les carrés magiques plus que parfaits sont tous d'ordre 4n. Dans leur livre, Kathleen Ollerenshaw et David S. Brée donnent une méthode de construction et d'énumération de tous les carrés magiques plus que parfaits. Ils montrent aussi qu'il existe une bijection entre les carrés inversibles et les carrés magiques plus que parfaits.
Pour n = 36, il existe environ 2,7 × 1044 carrés magiques plus que parfaits dans la forme standard de Frénicle (c'est-à -dire qu'il existe autant de carrés magiques plus que parfaits, à équivalence près).
Exemples
Deux carrés magiques plus que parfaits de taille 12 × 12 peuvent être obtenus en ajoutant 1 à chacune des cases :
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [1,] 64 92 81 94 48 77 67 63 50 61 83 78 [2,] 31 99 14 97 47 114 28 128 45 130 12 113 [3,] 24 132 41 134 8 117 27 103 10 101 43 118 [4,] 23 107 6 105 39 122 20 136 37 138 4 121 [5,] 16 140 33 142 0 125 19 111 2 109 35 126 [6,] 75 55 58 53 91 70 72 84 89 86 56 69 [7,] 76 80 93 82 60 65 79 51 62 49 95 66 [8,] 115 15 98 13 131 30 112 44 129 46 96 29 [9,] 116 40 133 42 100 25 119 11 102 9 135 26 [10,] 123 7 106 5 139 22 120 36 137 38 104 21 [11,] 124 32 141 34 108 17 127 3 110 1 143 18 [12,] 71 59 54 57 87 74 68 88 85 90 52 73
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [1,] 4 113 14 131 3 121 31 138 21 120 32 130 [2,] 136 33 126 15 137 25 109 8 119 26 108 16 [3,] 73 44 83 62 72 52 100 69 90 51 101 61 [4,] 64 105 54 87 65 97 37 80 47 98 36 88 [5,] 1 116 11 134 0 124 28 141 18 123 29 133 [6,] 103 66 93 48 104 58 76 41 86 59 75 49 [7,] 112 5 122 23 111 13 139 30 129 12 140 22 [8,] 34 135 24 117 35 127 7 110 17 128 6 118 [9,] 43 74 53 92 42 82 70 99 60 81 71 91 [10,] 106 63 96 45 107 55 79 38 89 56 78 46 [11,] 115 2 125 20 114 10 142 27 132 9 143 19 [12,] 67 102 57 84 68 94 40 77 50 95 39 85
Voir aussi
Bibliographie
- (en) Kathleen Ollerenshaw et David S. Brée, Most-perfect Pandiagonal Magic Squares: Their Construction and Enumeration, Southend-on-Sea : Institute of Mathematics and its Applications, 1998 (ISBN 0-905091-06-X), 186 p.
- (en) T. V. Padmakumar, Number Theory and Magic Squares, Sura books, India, 2008 (ISBN 978-81-8449-321-4), 128 p.
Articles connexes
Sriramachakra (en)