Calcul opérationnel

La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit :

${\displaystyle C}$ est l'original de ${\displaystyle C}$,

${\displaystyle Cf(t)}$ est l'original de ${\displaystyle C\phi (p)}$,

${\displaystyle f_{1}(t)+f_{2}(t)}$ est l'original de ${\displaystyle \phi _{1}(p)+\phi _{2}(p)}$,

${\displaystyle C_{1}f_{1}(t)+C_{2}f_{2}(t)}$ est l'original de ${\displaystyle C_{1}\phi _{1}(p)+C_{2}\phi _{2}(p)}$.

${\displaystyle p\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}t\,\mathrm {d} t=-\int _{0}^{+\infty }t\,\mathrm {d} (\mathrm {e} ^{-pt})=-\left[t\mathrm {e} ^{-pt}\right]_{0}^{+\infty }+\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}\,\mathrm {d} t.}$

Pour ${\displaystyle p>0}$, on obtient l'image ${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$.

Ainsi,

${\displaystyle t}$ est l'original de ${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$,

${\displaystyle Ct}$ est l'original de ${\displaystyle {\frac {C}{p}}}$,

${\displaystyle Ct+C_{1}}$ est l'original de ${\displaystyle {\frac {C}{p}}+C_{1}}$.

D'une manière générale, par récurrence pour tout entier positif n, on obtient : ${\displaystyle t^{n}}$ original de ${\displaystyle {\frac {n!}{p^{n}}}}$.

${\displaystyle p\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}\mathrm {e} ^{at}\,\mathrm {d} t={\frac {p}{a-p}}\left[\mathrm {e} ^{(a-p)t}\right]_{0}^{+\infty }.}$

Si ${\displaystyle a=\alpha +\mathrm {i} \beta }$, la parenthèse devient :

${\displaystyle \left[\mathrm {e} ^{(\alpha -p)t}(\cos \beta t+\mathrm {i} \sin \beta t)\right]_{0}^{+\infty }}$, expression qui tend vers ${\displaystyle -1}$ lorsque ${\displaystyle p>\alpha }$ ; dans ce cas l'image de ${\displaystyle \mathrm {e} ^{at}}$ est ${\displaystyle {\frac {p}{p-a}}}$.

Pour ${\displaystyle a}$ réel, le tableau de correspondance opératoire s'établit comme suit :

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
${\displaystyle \mathrm {e} ^{at}}$	${\displaystyle {\frac {p}{p-a}}}$	${\displaystyle (\mathrm {e} ^{at}-1)}$	${\displaystyle {\frac {a}{p-a}}}$	${\displaystyle p>a,\,a>0}$
${\displaystyle \mathrm {e} ^{-at}}$	${\displaystyle {\frac {p}{p+a}}}$	${\displaystyle -(\mathrm {e} ^{-at}-1)}$	${\displaystyle {\frac {a}{p+a}}}$	${\displaystyle p>-a,\,a<0}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{at}-1}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{p-a}}}$	${\displaystyle -{\frac {\mathrm {e} ^{-at}-1}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{p+a}}}$	-
${\displaystyle \cosh(at)}$	${\displaystyle {\frac {p^{2}}{p^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle \sinh(at)}$	${\displaystyle {\frac {pa}{p^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle p>a}$

Pour ${\displaystyle a=\mathrm {i} \omega }$

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}}$	${\displaystyle {\frac {p}{p-\mathrm {i} \omega }}}$	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}}$	${\displaystyle {\frac {p}{p+\mathrm {i} \omega }}}$	-
${\displaystyle \cos(\omega t)}$	${\displaystyle {\frac {p^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle \sin(\omega t)}$	${\displaystyle {\frac {p\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}}$	-
${\displaystyle {\frac {1-\cos({\omega t})}{\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}}$	-	-	-

Si ${\displaystyle a=\alpha +\mathrm {i} \beta }$, l'image de ${\displaystyle \mathrm {e} ^{(\alpha +\mathrm {i} \beta )t}}$ est : ${\displaystyle {\frac {p(p-\alpha +\mathrm {i} \beta )}{(p-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}}$

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
${\displaystyle \mathrm {e} ^{\alpha t}\cos \beta t}$	${\displaystyle {\frac {p(p-\alpha )}{(p-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}}$	${\displaystyle \mathrm {e} ^{\alpha t}\sin \beta t}$	${\displaystyle {\frac {p\beta }{(p-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}}$	-

Si ${\displaystyle \alpha <0}$, la valeur de ${\displaystyle \mathrm {e} ^{(\alpha +\mathrm {i} \beta )t}}$ est égale à zéro pour ${\displaystyle t={+\infty }}$, idem pour la valeur de la fonction image lorsque ${\displaystyle p=0}$.

La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de t et égale à 1 pour toute valeur positive de t. Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t. Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.

Représentation de la fonction échelon-unité U(t).

Considérons une fonction ${\displaystyle h(t)}$ telle que représentée ci-dessous. Elle est définie par :

• ${\displaystyle h(t)=0}$ pour ${\displaystyle t<0}$ ;
• ${\displaystyle h(t)={\frac {t}{\epsilon }}}$ pour ${\displaystyle 0<t<\epsilon }$ ;
• ${\displaystyle h(t)=1}$ pour ${\displaystyle t>\epsilon }$.

Représentation de la fonction ${\displaystyle h(t)}$.

La fonction ${\displaystyle h(t)}$ a pour dérivée ${\displaystyle g(t)}$, représentée ci-dessous, caractérisée par :

• ${\displaystyle g(t)=0}$ pour ${\displaystyle t<0}$ ;
• ${\displaystyle g(t)={\frac {1}{\epsilon }}}$ pour ${\displaystyle 0<t<\epsilon }$ ;
• ${\displaystyle g(t)=0}$ pour ${\displaystyle t>\epsilon }$.

Quel que soit ${\displaystyle \epsilon }$, l'aire du rectangle est égal à l'unité.

Représentation de la fonction ${\displaystyle g(t)=h'(t)}$.

Si l'on fait tendre ${\displaystyle \epsilon }$ vers zéro, ${\displaystyle h(t)}$ tend vers ${\displaystyle U(t)}$ et ${\displaystyle g(t)}$ tend vers une fonction notée ${\displaystyle U'(t)}$ qui est notre fonction de Dirac (ou percussion-unité), caractérisée par deux valeurs :

• ${\displaystyle U'(t)=0}$ quel que soit t sauf pour ${\displaystyle t=0}$ où la valeur de ${\displaystyle U'(t)}$ devient infinie, et
• ${\displaystyle \int _{t_{0}}^{+t}U'(t)\,\mathrm {d} t=1}$, quel que soit t₀ ≤ 0 et t > 0.

Il vient alors : ${\displaystyle \int _{0}^{+t}U'(t)\,\mathrm {d} t=U(t).}$

L'image de l'impulsion de Dirac est la limite quand ${\displaystyle \epsilon }$ tend vers zéro de l'expression maintenant bien connue :

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}g(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\epsilon }\mathrm {e} ^{-pt}{\frac {1}{\epsilon }}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\epsilon }}\left[-\mathrm {e} ^{-pt}\right]_{0}^{\epsilon }}$

Ce qui est égal à ${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon }}\left(1-\mathrm {e} ^{-p\epsilon }\right)}$ qui tend vers 1 quand ${\displaystyle \epsilon }$ tend vers zéro (règle de L'Hôpital, par exemple).

L'image de l'impulsion de Dirac d(t) est donc 1.

Représentation de la translation d'une fonction d'une valeur ${\displaystyle T}$ à droite.

Soit une fonction ${\displaystyle f(t)U(t)}$ à laquelle on fait subir une translation de la valeur ${\displaystyle T}$ à droite et parallèlement à l'axe des ${\displaystyle t}$ (voir représentations ci-dessus) de telle façon que :

• ${\displaystyle f(t)U(t)=0}$ pour ${\displaystyle t<T}$, et
• ${\displaystyle f(t)U(t)=f(t-T)}$ pour ${\displaystyle t>T}$.

La forme d'origine est ${\displaystyle F(t-T)U(t-T)}$. Son image est :

${\displaystyle p\int _{T}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}f(t-T)\,\mathrm {d} t}$.

En posant ${\displaystyle \tau =t-T}$ on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}p\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-p(T+\tau )}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau &=\mathrm {e} ^{-pT}p\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-p\tau }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\mathrm {e} ^{-pT}\phi (p).\end{aligned}}}$

Conclusion :

• avec ${\displaystyle T>0}$ : ${\displaystyle f(t-T)}$ est la fonction origine de ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-pT}\phi (p)}$, avec ${\displaystyle t>T}$, et
• ${\displaystyle f(t-T)=0}$ pour ${\displaystyle t<T}$.