Axiome de l'ensemble vide

Dans le langage formel des axiomes de Zermelo-Frankel, l'axiome s'écrit :

${\displaystyle \exists A\ \forall B(B\not \in A)}$

ou en d'autres termes :

Il existe un ensemble A tel que, pour tout ensemble B, B n'est pas un élément de A, c’est-à-dire qu'il existe un ensemble dont aucun ensemble n'est élément.

L'axiome d'extensionnalité peut être utilisé pour démontrer que cet ensemble est unique. Il est appelé l'ensemble vide et il est noté ∅ (${\displaystyle \emptyset }$) ou parfois { }.

Essentiellement, l'axiome affirme donc que l'ensemble vide existe.

Dès qu'il existe un ensemble, l'existence de l'ensemble vide peut être démontrée par compréhension, comme étant le sous-ensemble des éléments de celui-ci qui vérifient une propriété toujours fausse. Par conséquent l'axiome de l'ensemble vide ne fait pas partie des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel, quand celles-ci sont présentées comme des théories du premier ordre. En effet, en logique du premier ordre, les domaines d'interprétation des variables d'objets de base, ici des variables d'ensemble, sont non vides. Cela compliquerait beaucoup l'exposé des règles logiques de considérer des domaines vides. C'est ce qui permet l'introduction de nouvelles variables dans le raisonnement : dès que l'on introduit une nouvelle variable, on suppose qu'elle désigne un objet.

Il suffit donc, dans le cas qui nous préoccupe, d'appliquer le schéma d'axiomes de compréhension à un ensemble arbitraire, pour une propriété jamais réalisée : soit y un ensemble, il existe par compréhension un ensemble a = {x ∈ y| x ≠ x}, et celui-ci est bien l'ensemble vide, c’est-à-dire que ∀x x ∉ a.

Toutefois, dans la démonstration précédente de l'existence de l'ensemble vide, nous avons supposé l'existence de l'ensemble y. Mais rien ne permet d'affirmer cette existence, les axiomes pouvant s'appliquer sur un univers vide : comme le schéma de compréhension commence par ∀A pour définir par compréhension un sous-ensemble de A, s'il n'y a aucun A, l'axiome est trivialement vrai.

C'est pourquoi l'axiome de l'ensemble vide est remplacé par « l'axiome d'existence » afin que tout le reste de la théorie ne décrive pas un univers vide.

En langage formel, l'axiome d'existence peut s'écrire : ∃x (x = x) : comme (x = x) est une tautologie (toujours vraie), cette écriture en langage formel ne stipule bien rien de plus que l'existence d'un ensemble.