Application de la transformée de Laplace aux équations différentielles

La transformation de Laplace transforme une fonction${\displaystyle f\,}$ en une fonction ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$ définie par

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

En pratique, la recherche de ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$ se fait plus facilement à l'aide de tables de transformées de Laplace (voir quelques transformées usuelles)

La transformation de Laplace possède les propriétés suivantes

• Linéarité :

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af+bg\right\}=a\,{\mathcal {L}}\left\{f\right\}+b\,{\mathcal {L}}\left\{g\right\}}$

• Transformée d'une dérivée :

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}(f)-f(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}(f)-sf(0)-f'(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)}$

Ces propriétés peuvent s'appliquer à une équation différentielle linéaire. Supposons que l'on veuille résoudre l'équation différentielle suivante :

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}=\varphi }$

En appliquant la transformation de Laplace à cette égalité on obtient l'équation équivalente suivante :

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}\}={\mathcal {L}}\{\varphi \}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\mathcal {L}}\{f\}={\frac {{\mathcal {L}}\{\varphi \}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{j=1}^{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}}}$

où ${\displaystyle f^{(k)}(0)\,}$ sont les conditions initiales.

Il suffit alors de trouver${\displaystyle f\,}$ en appliquant la transformation inverse sur ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$. Cette opération se révèle parfois difficile sauf dans le cas où ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$ est une somme de transformées de Laplace classiques figurant dans un tableau de transformées de Laplace.

On cherche à résoudre :

${\displaystyle f^{(2)}(t)+4f(t)=\sin(2t)\,}$

avec les conditions initiales ${\displaystyle f(0)=0\,}$ et ${\displaystyle f'(0)=0\,}$

On note : ${\displaystyle \varphi (t)=\sin(2t)\,}$

Le tableau de transformées de Laplace donne :

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\varphi \}(s)={\frac {2}{s^{2}+4}}}$

L'équation devient :

${\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f^{(1)}(0)+4{\mathcal {L}}\{f\}={\mathcal {L}}\{\varphi \}}$

On en déduit :

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)={\frac {2}{(s^{2}+4)^{2}}}}$

Il s'agit maintenant de retrouver la fonction ${\displaystyle f\,}$, c'est-à-dire d'appliquer la transformation de Laplace inverse. Dans ce cas, la fonction ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$ est une fonction rationnelle qu'il suffit de décomposer en éléments simples. La lecture inverse du tableau de transformées de Laplace fournira alors la valeur de ${\displaystyle f\,}$

${\displaystyle {\frac {2}{(s^{2}+4)^{2}}}={\frac {\frac {1}{16i}}{s-2i}}-{\frac {\frac {1}{16i}}{s+2i}}-{\dfrac {\frac {1}{8}}{(s+2i)^{2}}}-{\frac {\frac {1}{8}}{(s-2i)^{2}}}={\dfrac {1}{4}}{\frac {1}{s^{2}+4}}-{\frac {1}{8}}\left({\dfrac {1}{(s+2i)^{2}}}+{\frac {1}{(s-2i)^{2}}}\right)}$

Toutes ces différentes fractions figurent dans la colonne de droite du tableau de transformées de Laplace et permettent de retrouver ${\displaystyle f\,}$ :

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{8}}\sin(2t)-{\frac {1}{8}}\left(te^{-2it}+te^{2it}\right)={\frac {1}{8}}\sin(2t)-{\frac {t}{4}}\cos(2t)}$