Analyse par enveloppement des données

L'ensemble des technologies est un concept central en DEA . Il est défini comme l'ensemble formé de tous les couples d'inputs et d'outputs accessibles théoriquement par la technologie actuelle. Lorsque l'on étudiera des entreprises produisant des biens, on parlera de plans de production ; mais la définition d'ensemble des technologies s'applique aussi pour les productions de services. Cependant, cet ensemble n'est, à priori, pas connu. Par exemple, si l'on produit un service et que l'output est le bien-être du consommateur, on ne peut pas savoir quel output maximal est réalisable. On a donc besoin, pour effectuer une DEA, d'estimer l'ensemble des technologies. L'estimation va, sur base d'hypothèses, délimiter la zone des couples d'inputs/outputs réalisables, tout en imposant que tous les points se situent dans l'estimation effectuée (toutes les DMU ont un plan de production accessible, par définition)[1].

Hypothèse de libre disponibilité

L'hypothèse de libre disponibilité (en anglais free disposability hypothesis ou FDH) consiste a supposer que, pour tout couple input/output donné, il y a toujours moyen de produire la même quantité d'output avec plus d'input (en laissant de côté l'input excédentaire non utilisé). De même, pour un input et un output donnés, il y a toujours moyen de produire moins d'output (en laissant de côté l'output excédentaire produit). Enfin, il y a aussi moyen, en mélangeant les deux assertions ci-dessus, de produire moins d'outputs avec plus d'inputs. la FDH dit donc que l'on a toujours la libre disponibilité de faire moins bien qu'un plan de production donné.

Mathématiquement, pour chacune des DMU, dont le couple d'input/output est ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$, l'hypothèse FDH implique que les points produisant moins avec plus, ${\displaystyle (x',y')\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$ où ${\displaystyle x'\geq x}$ et ${\displaystyle y'\leq y}$ appartiennent tous à l'estimation du technology set.

La relation d'ordre prise ici n'est pas totale. En effet, s'il y a par exemple deux variables d'inputs, disons ${\displaystyle x^{(1)}}$ et ${\displaystyle x^{(2)}}$, il peut arriver que, pour un output donné, une DMU A utilise moins d'input (1) que la DMU B, mais que la DMU B utilise moins d'input (2) que la DMU A. On ne pourra donc pas les comparer : ${\displaystyle x_{A}=(x_{A}^{(1)},x_{A}^{(2)})\not \geq x_{B}}$ et ${\displaystyle x_{A}\not \leq x_{B}}$

On peut graphiquement représenter le technology set résultant de l'hypothèse de disponibilité libre lorsqu'il n'y a qu'un input et qu'un output. L'input est conventionnellement représenté sur l'axe horizontal et l'output sur l'axe vertical. Dans ce cas, le technology set est l'union des zones formées par les « coins inférieurs droits » de chaque plan de production des DMU, c'est-à-dire l'ensemble des points en dessous ou à gauche de chaque plan de production. Sur le graphique ci-contre, le technology set est la zone à droite de la ligne brisée.

Hypothèse de rendements d'échelle variables

L'hypothèse de rendements d'échelles variables consiste à dire que, si plusieurs DMU ont des plans de productions (couples inputs/outputs) différents, alors une moyenne pondérée de ces plans de productions est un plan de production réalisable. Autrement dit, le point correspondant à cette moyenne pondérée appartient au technology set.

Mathématiquement, si les DMU A et B ont les plans de productions ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$ et ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$ respectivement, alors tous les points qui sont une moyenne pondérée de ces plans,

${\displaystyle (\lambda x_{A}+(1-\lambda )x_{B},\lambda y_{A}+(1-\lambda )y_{B}),{\text{ avec }}\lambda \in [0,1]}$

appartiennent à l'estimation de l'ensemble des technologies. Cela se généralise pour un nombre fini de points, ${\displaystyle N}$ : si les DMU ${\displaystyle 1,\dots ,N}$ ont les plans de productions ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{N},y_{N})}$, alors tous les points qui sont une moyenne pondérée de ces plans,

${\displaystyle \left(\sum _{i}\lambda _{i}x_{i},\sum _{i}\lambda _{i}y_{i}\right),{\text{ avec }}\sum _{i}\lambda _{i}=1}$

appartiennent à l'estimation de l'ensemble des technologies.

Cela se comprend graphiquement de la manière suivante : pour deux DMU, tous les points qui se situent sur le segment de droite qui les relie sont dans le technology set. La généralisation a plusieurs points signifie que tous les points situé dans le polygone convexe formé par les DMU appartiennent au technology set. La frontière est donc composée d'une ligne brisée. La partie reliant les DMU entre elles provient de l'hypothèsen VRS, l'autre partie de la frontière vient de l'hypothèse de disponibilité libre (qui est toujours assumée). Les points qui se situent à la limite entre ces deux parties s'appellent « points d'ancrage »[5] - [6].

Les hypothèses des rendements d'échelle croissant et décroissant sont une particularisation de l'hypothèse de rendements d'échelle variables. L'hypothèse de rendements d'échelles croissants (en anglais, on l'appelle increasing return to scale - IRS ou bien non-decreasing return to scale - NDRS) suppose que pour tout couple input/output, il y a toujours moyen de produire plus d'output avec le même rapport input/output. Inversement, l'hypothèse de rendement d'échelle de décroissant (decraesing return to scale - DRS ou non-increasing return to scale) stipule qu'il y a toujours moyen de produire moins d'output avec le même rapport input/output.

En termes mathématiques, l'hypothèse des rendements d'échelle croissant se traduit par le fait que pour tout couple input/output ${\displaystyle (x,y)}$ de l'ensemble des technologies, le couple ${\displaystyle (\lambda x,\lambda y),\ \lambda \geq 1}$ est un point valide du technology set. De même, l'hypothèse des rendements d'échelle décroissant se traduit par le fait que pour tout couple input/output ${\displaystyle (x,y)}$ de l'ensemble des technologies, le couple ${\displaystyle (\lambda x,\lambda y),\ \lambda \leq 1}$ est un point valide de l'ensemble des technologies.

Ces deux hypothèses résultent en des technology set convexes.

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  Exemple de rendement d'échelle croissant
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  Exemple de rendement d'échelle décroissant

L'hypothèse de rendement d'échelle constant consiste à supposer que pour tout couple d'input output ${\displaystyle (x,y)}$, n'importe quel multiple de ce cette production est réalisable . En termes mathématiques, pour tout couple input/output ${\displaystyle (x,y)}$ dans le technology set, tout multiple ${\displaystyle (\lambda x,\lambda y)}$ (avec ${\displaystyle \lambda >0}$) est dans le technology set. Cette hypothèse est donc une généralisation des hypothèses de rendements d'échelle croissant et décroissants et crée donc un technology set convexe.