Aberrations en optique des particules chargées

Dans un système à symétrie de révolution, c'est-à-dire un système constitué de lentilles électrostatiques et de lentilles magnétiques comme le sont les microscopes électroniques, il est naturel de travailler en coordonnées cylindriques en exprimant la position de la particule à l'aide de son rayon vecteur r et de son azimut ${\displaystyle \phi }$. On travaillera alors avec les variables complexes u et v et w définis par [11]

${\displaystyle \textstyle u=x_{O}+iy_{O}=r_{O}*e^{i\phi _{O}}}$

${\displaystyle {\bar {u}}\ =x_{O}-iy_{O}=r_{O}*e^{-i\phi _{O}}}$

${\displaystyle \textstyle w=x_{i}+iy_{i}=r_{i}*e^{i\phi _{i}}}$

La symétrie de révolution conduit à éliminer les termes d'ordre pair, à commencer par le second ordre. Elle impose aussi, pour tous les termes du troisième ordre de type ${\displaystyle \textstyle uuv,\ v^{2}{\bar {v}},\ {\bar {v}}^{3}}$, à ne conserver que ceux dont la phase est ${\displaystyle \phi }$ [11]:

${\displaystyle w=\left(\mathbf {A} +i\mathbf {A} '\right)\ v^{2}{\bar {v}}\ +\left(\mathbf {B} +i\mathbf {B} '\right)u^{2}{\bar {v}}\ +\left(\mathbf {C} +i\mathbf {C} '\right)\ u{\bar {u}}\ v+\left(\mathbf {D} +i\mathbf {D} '\right){\bar {u}}\ v^{2}+\left(\mathbf {E} +i\mathbf {E} '\right)uv{\bar {v}}\ +\left(\mathbf {F} +i\mathbf {F} '\right)u^{2}{\bar {u}}\ }$

Par ailleurs,par des considérations de symétrie, et en vertu du théorème de Malus-Dupin qui impose[11]:

${\displaystyle Im({\frac {\delta w}{\delta v}})=0}$

on arrive à simplifier et à supprimer un certain nombre de termes:

${\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {C} '=0}$

${\displaystyle \mathbf {E} =2\mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathbf {E} '=-2\mathbf {D} '}$

Ce qui conduit à une relation valide aussi bien pour les lentilles magnétiques que pour les lentilles électrostatiques[11]

${\displaystyle w=\mathbf {A} \ v^{2}{\bar {v}}\ +\left(\mathbf {B} +i\mathbf {B} '\right)u^{2}{\bar {v}}\ +\mathbf {C} \ u{\bar {u}}\ v+\left(\mathbf {D} +i\mathbf {D} '\right){\bar {u}}\ v^{2}+2\left(\mathbf {D} -i\mathbf {D} '\right)uv{\bar {v}}\ +\left(\mathbf {F} +i\mathbf {F} '\right)u^{2}{\bar {u}}\ }$

Mais dans le cas des lentilles électrostatiques, on peut mettre à profit le fait qu'aucune force ne peut amener un électron à quitter un plan méridien[11].

${\displaystyle \mathbf {B} '=\mathbf {D} '=\mathbf {F} '=0}$

• A est connu comme le coefficient d'aberration sphérique[12]
• D est connu comme le coefficient de coma[12]
• D est connu comme le coefficient de coma anisotropique[12]
• B est connu comme le coefficient d'astigmatisme[12]
• B' est connu comme le coefficient d'astigmatisme anisotropique[12]
• C est connu comme le coefficient de courbure de champ[12] * F est connu comme le coefficient de distorsion[12]
• F' est connu comme le coefficient de distorsion anisotropique[12]

Toutes ces aberrations géométriques sont discutées ci-dessous.

On peut définir de façon canonique 5 types d'aberrations géométriques: l'aberration sphérique, coma, la courbure de champ, l'astigmatisme et la distorsion.

Représentation de l'aberration sphérique.

L'aberration sphérique est une aberration du troisième ordre qui traduit le fait qu'une lentille, qu'elle soit magnétique ou électrostatique, est toujours plus convergente pour les trajectoires périphériques que pour les trajectoires centrales. Le coefficient d'aberration sphérique ${\displaystyle C_{s}}$ est défini par la relation[13]:

${\displaystyle r_{s}=C_{s}\theta ^{3}M}$

où ${\displaystyle r_{s}}$ est la distance à l'axe, dans le plan image de Gauss de la trajectoire associé à l'angle d'ouverture ${\displaystyle \theta }$ et M étant le grandissement du système optique considéré.

La section du faisceau n'est pas minimale au plan de Gauss, mais à un plan voisin. Dans ce plan, la section du faisceau est appelée disque de moindre confusion ${\displaystyle d_{s,min}}$ dont on peut montrer qu'il est égal à[13]: Pour un faisceau ayant un angle d'ouverture ${\displaystyle \alpha _{0}}$, le faisceau n'est pas focalisé en un point, mais en un disque dans le plan image, appelé disque de moindre confusion de diamètre minimum ${\displaystyle d_{s,min}}$ [13]:

${\displaystyle d_{s,min}={\frac {1}{2}}C_{s}\alpha _{0}^{3}}$

${\displaystyle \alpha _{0}}$, étant l'angle d'ouverture du faisceau.

Scherzer a démontré par un théorème qui porte son nom que l'aberration sphérique était toujours positive dans un système à symétrie de révolution. On a cependant imaginé à la fin des années soixante-dix de contourner le théorème se Scherzer par des systèmes qui ne sont pas à symétrie de révolution et qui nécessitent de faire passer le faisceau hors d'axe. Ces systèmes consistent en un certain nombre d'étages de multipoles. Leur réglage nécessitant des algorithmes sophistiqués, ce n'est que depuis le début des années 2000 qu'ils ont pu être intégrés dans des microscopes électroniques commercialisés.

L'astigmatisme a pour effet de ne pas faire converger les rayons issus d'un même point suivant leurs directions initiales. En considérant une focale ${\displaystyle F_{m}}$ suivant le plan méridien, et l'autre ${\displaystyle F_{s}}$ suivant le plan sagittal[14], on observe une différence de focale ${\displaystyle \Delta f_{a}=F_{m}-F_{a}}$. De cette différence résulte un cercle de moindre confusion de diamètre ${\displaystyle d_{a}}$ donné par [15]:

${\displaystyle d_{a}=\Delta f_{a}\alpha _{0}}$

Dans le cas d'une lentille, l'origine de cette aberration vient des variations de champs dues aux inhomogénéités de la lentille ou des contaminations éventuelles sur la surface des diaphragmes et de l'échantillon. L'astigmatisme est corrigé par une paire de stigmateurs, décalés de 45°.

En pratique, le faisceau électronique n'est pas complètement monochromatique, c'est-à-dire que la longueur d'onde (ou l'énergie) varie faiblement d'un électron à l'autre. La focalisation des lentilles magnétiques dépendant fortement de l'énergie des électrons, il en résulte une succession de foyers qui sont compris entre le foyer pour les électrons les plus lents ${\displaystyle F_{l}}$ et celui pour les plus rapides ${\displaystyle F_{r}}$. Cette différence ${\displaystyle \Delta f_{c}=F_{l}-F_{r}}$ et la constante d'aberration chromatique caractérise le cercle de moindre confusion dont le diamètre ${\displaystyle d_{c}}$ est donnée par :

${\displaystyle d_{c}={\frac {1}{2}}\Delta f_{c}\alpha _{0}}$

Cette aberration est dite d'ordre un, car elle est proportionnelle à l'ouverture angulaire ${\displaystyle \alpha _{0}}$.

• (en) P. W. Hawkes et E. Kasper, Principles of Electron Optics, Academic Press, 1988, p. 299. (ouvrage de référence pour l'optique électronique depuis 1988, mais un peu difficile à lire. L'optique des systèmes courbes, à la base de l'optique ionique, n'y est qu'effleuré.)
• (en) Pierre Grivet, Electron optics, Tome 1, première édition anglaise, Pergamon press 1965, deuxième édition, 1972. (ouvrage classique depuis la fin des années 1950)
• Maurice Cotte, Recherches sur l'optique électronique, Ann. Phys. Paris, 10, 333, 73 p. (première monographie en français)
• (en) L. Reimer, Transmission Electron Microscopy, 1993 [détail de l’édition]

Systèmes à axe courbé

• (en) Hermann Wollnik, Optics of charged particles, Academic press, 1987 (Ciblé vers les gros accélérateurs)
• Hermann Wollnik, Electrostatic Prisms, dans Focusing of charged particles, ed. by Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 163-202 (pour les secteurs électrostatiques)
• (en) Harald A.Enge, Deflecting Magnets, dans Focusing of charged particles, ed. by Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 203-264 (Pour les secteurs magnétiques)

• Optique des particules chargées
• Lentille magnétique, Lentille électrostatique
• Approximation de Gauss