Équilibre corrélé

Considérons un jeu à ${\displaystyle n}$ joueurs où chaque joueur ${\displaystyle i}$ choisit sa stratégie dans un ensemble ${\displaystyle S_{i}}$. La valeur reçue par le joueur ${\displaystyle i}$ est notée ${\displaystyle \displaystyle v_{i}(s_{i},s_{-i})}$, où ${\displaystyle s_{i}\in S_{i}}$ désigne la stratégie du joueur ${\displaystyle i}$ tandis que ${\displaystyle s_{-i}\in \prod _{j\neq i}S_{j}}$ désigne les stratégies de tous les autres joueurs. Par exemple, sous forme vectorielle, pour ${\displaystyle s=(1,2,3)}$, ${\displaystyle s_{2}=2}$ et ${\displaystyle s_{-2}=(1,3)}$. La notation ${\displaystyle s=(s_{i},s_{-i})}$ permet de se référer facilement à la stratégie voisine ${\displaystyle s'=(s'_{i},s_{-i})}$ où tous les joueurs conservent la même stratégie à l'exception du joueur ${\displaystyle i}$ qui remplace sa strategie ${\displaystyle s_{i}}$ par ${\displaystyle s'_{i}}$.

Soit une loi de probabilité ${\displaystyle p}$ sur les vecteurs de stratégies ${\displaystyle s\in \prod _{i}S_{i}}$ : ${\displaystyle p(s)}$ désigne la probabilité du vecteur ${\displaystyle s}$, que l'on écrira de manière équivalente ${\displaystyle \displaystyle p(s_{i},s_{-i})}$ lorsqu'on s'intéressera au joueur ${\displaystyle i}$. On dit que la loi de probabilité ${\displaystyle p}$ est un équilibre corrélé lorsque, pour tout joueur ${\displaystyle i}$ et toute stratégie ${\displaystyle s_{i}\in S_{i}}$, on a la relation :

${\displaystyle \forall s'_{i}\in S_{i},\quad \sum _{s_{-i}}p(s_{i},s_{-i})v_{i}(s_{i},s_{-i})\;\geq \;\sum _{s_{-i}}p(s_{i},s_{-i})v_{i}(s'_{i},s_{-i})}$

En français, ceci se lit : « sachant que le joueur ${\displaystyle i}$ s'est vu attribuer la stratégie ${\displaystyle s_{i}}$, il ne peut obtenir en moyenne de valeur perçue plus grande en optant pour une autre stratégie ${\displaystyle \displaystyle s'_{i}}$. »

La moyenne en question correspond à l'espérance de ${\displaystyle v_{i}}$ sur les stratégies des autres joueurs, distribuées selon la loi ${\displaystyle p}$ conditionnée par l'événement « le joueur ${\displaystyle i}$ a reçu la stratégie ${\displaystyle s_{i}}$ ». En d'autres termes, le raisonnement présente deux étapes : les joueurs reçoivent d'abord leurs stratégies, puis envisagent d'améliorer leurs valeurs moyennes en supposant que les autres ne changent pas de tactique. S'il n'y a d'amélioration possible pour aucun joueur, on a un équilibre corrélé.

Considérons le jeu de la poule mouillée représenté ci-contre : deux joueurs s'affrontent, chacun ayant le choix entre deux stratégies, oser (O) ou renoncer (R). Si l'un ose, l'autre a tout intérêt à renoncer, et symétriquement, si l'un renonce, l'autre a tout intérêt à oser. Ce jeu représente donc une situation où chacun souhaite oser, mais seulement si son adversaire est susceptible d'abandonner.

Il y a trois équilibres de Nash : deux équilibres purs, ${\displaystyle (O,R)}$ et ${\displaystyle (R,O)}$, ainsi qu'un équilibre mixte où chaque joueur ose avec probabilité ${\displaystyle 1/3}$.

Supposons maintenant l'existence d'un arbitre choisissant uniformément un couple de stratégies parmi ${\displaystyle (R,R)}$, ${\displaystyle (O,R)}$ et ${\displaystyle (R,O)}$. Une fois le couple choisi, l'arbitre informe chaque joueur de sa stratégie (mais pas de la stratégie de son adversaire). Deux situations se présentent alors :

• Imaginons qu'un joueur reçoive ${\displaystyle O}$ : il sait alors que son adversaire a reçu ${\displaystyle R}$ et n'a pas intérêt à revenir sur sa stratégie.
• Imaginons qu'un joueur reçoive ${\displaystyle R}$ : dans ce cas, son adversaire jouera ${\displaystyle O}$ avec probabilité ${\displaystyle 1/2}$ et ${\displaystyle R}$ sinon; la valeur moyenne perçue par le joueur s'il conserve la stratégie ${\displaystyle R}$ est alors ${\displaystyle 1/2\times 2+1/2\times 6=4}$, tandis que s'il décide de jouer ${\displaystyle O}$ plutôt cette moyenne ne sera que de ${\displaystyle 1/2\times 0+1/2\times 7=3,5}$.

En définitive, aucun joueur n'a intérêt à revenir sur la stratégie que lui suggère l'arbitre : il y a équilibre corrélé. On remarquera que la valeur moyenne perçue dans cet équilibre est alors ${\displaystyle 1/3\times 7+1/3\times 2+1/3\times 6=5}$, soit plus que celle obtenue avec l'équilibre de Nash mixte.

Lorsque ${\displaystyle p}$ est la loi produit induite par ${\displaystyle n}$ stratégies mixtes ${\displaystyle \{p_{i}\}}$, i.e. ${\displaystyle p(s_{1},...,s_{n})=p_{1}(s_{1})p_{2}(s_{2})\cdots p_{n}(s_{n})}$, un équilibre corrélé est exactement un équilibre de Nash. En effet, la relation d'équilibre devient alors (après division par ${\displaystyle p_{i}(s_{i})}$)

${\displaystyle \forall s'_{i}\in S_{i},\quad \sum _{s_{-i}}p_{-i}(s_{-i})v_{i}(s_{i},s_{-i})\;\geq \;\sum _{s_{-i}}p_{-i}(s_{-i})v_{i}(s'_{i},s_{-i}).}$

C'est-à-dire que le mouvement ${\displaystyle s_{i}}$ est une réponse optimale aux stratégies (mixtes) des adversaires (les équilibres de Nash mixtes sont exactement les combinaisons convexes de réponses optimales[1]).

Ainsi, un équilibre de Nash est un cas particulier d'équilibre corrélé où la loi est une loi produit (i.e. décorrélée).

La notion a été étendue pour les jeux en forme normale extensive par Bernard von Stengel et François Forges en 2008[2].

• Robert Aumann (1974), Subjectivity and correlation in randomized strategies, Journal of Mathematical Economics, 1:67-96.
• Robert Aumann (1987), Correlated Equilibrium as an Expression of Bayesian Rationality, Econometrica, 55(1):1-18.
• Fudenberg, Drew et Jean Tirole (1991), Game Theory, MIT Press, 1991, (ISBN 0-262-06141-4)
• Martin J. Osborne et Ariel Rubinstein (1994), A Course in Game Theory, MIT Press, (ISBN 0-262-65040-1).
• (en) Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos et Vijay Vazirani (trad. de l'indonésien), Algorithmic Game Theory, Cambridge, Cambridge University Press, 2007, 754 p. (ISBN 978-0-521-87282-9, LCCN 2007014231, lire en ligne)