Équation différentielle raide

Il existe plusieurs définitions formelles de la raideur d'une équation différentielle. Une des plus simples est celle de Curtiss et Hirschfelder :

« Stiff equations are equations where certain implicit methods, in particular BDF (en), perform better, usually tremendously better, than explicit ones[1]. »

Une formulation plus mathématique passe par le comportement des valeurs propres liés au système :

Soit l'équation différentielle

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=F(u).}$

L'équation est dite raide si elle vérifie :

${\displaystyle \exists (\lambda _{1},\lambda _{2})\in \operatorname {Sp} (\mathrm {D} F(u)),\,|\lambda _{1}|<<|\lambda _{2}|}$

où ${\displaystyle \operatorname {Sp(M)} }$ est le spectre de ${\displaystyle M}$.

La raideur vient donc d'une différence d'échelle entre deux phénomènes dynamiques : des phénomènes à évolution « rapide » vont tendre « lentement » vers une position d'équilibre.

Un premier exemple simple est le système différentiel

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'(t)\\y'(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-100&0\\0&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}},}$

dont les solutions sont de la forme :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x(0)\,e^{-100\,t}\\y(0)\,e^{-t}\end{bmatrix}},}$

et la décroissance rapide de ${\displaystyle x}$ va imposer une forte contrainte sur la résolution de ${\displaystyle y}$.

On peut également citer les problèmes de Curtiss-Hirschfelder :

${\displaystyle y'(t)=-k\,[y(t)-\phi (t)],}$

où ${\displaystyle k}$ est une constante positive réelle. Ce problème comporte lui aussi deux échelles de temps : la prédominance de ${\displaystyle -ky}$ pour les temps courts et de ${\displaystyle +k\phi }$ sur les temps longs.

Les bilans de réactions chimiques peuvent également dans certains cas être décrites par des équations raides, comme la réaction de Belooussov-Jabotinski (réaction oscillante).