Équation de Sellmeier

En optique, l’équation de Sellmeier est une relation empirique entre l'indice de réfraction et la longueur d'onde pour un milieu transparent donné. Cette équation est utilisée pour déterminer la dispersion de la lumière dans un milieu réfringent.

Un graphique de l'indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde en utilisant l'équation de Sellmeier pour du verre BK7.

Cette équation a été trouvée en 1871 par Wilhelm Sellmeier, et était un développement du travail de Augustin Louis Cauchy sur la loi de Cauchy pour modéliser la dispersion[1].

Équation

La forme habituelle de cette équation est[2] :

n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}

où B_1,2,3 et C_1,2,3 sont les coefficients de Sellmeier, propres à un matériau et déterminés expérimentalement. Ces coefficients sont généralement déterminés pour λ mesuré en micromètres (µm). λ est la longueur d'onde dans le vide et non pas celle dans le milieu d'intérêt, qui est ${\frac {\lambda }{n(\lambda )}}$ .

Une forme différente de l'équation est parfois utilisée pour certains types de matériaux, par exemple les cristaux. Les coefficients de Sellmeier pour les verres optiques sont indiqués généralement dans les spécifications du verre lui-même.

Origine

L'équation de Sellmeier résulte d'une approximation dans laquelle on considère que les particules du milieu réagissent au champ électromagnétique incident à la manière d'oscillateurs harmoniques. Dans le cadre de cette modélisation, on aboutit à la formule : $n^{2}(\lambda )=1+\sum _{j=1}^{M}{\frac {B_{j}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-\lambda _{j}^{2}}}$ ,

où M représente le nombre de pics de résonance pour les oscillateurs harmoniques aux longueurs d'onde λ_j, B_j des constantes obtenues empiriquement en adaptant le modèle aux mesures[3].

Chaque terme de la somme représente une résonance d'absorption de force B_i à la longueur d'onde √C_i. Par exemple, les coefficients pour le BK7 ci-dessous correspondent à deux résonances d'absorption dans l'ultraviolet, et une dans l'infrarouge. Près de chaque pic d'absorption, l'équation donne la valeur non-physique de n=±∞, et un modèle de dispersion plus précis, tel que le modèle de dispersion d'Helmoltz, est requis pour décrire adéquatement ces régions.

Aux longues longueurs d'onde loin des pics d'absorption, la valeur de n tend vers :

{\begin{matrix}n\approx {\sqrt {1+\sum _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}}\end{matrix}}

où ε_r est la constante diélectrique relative du milieu.

L'équation de Sellmeier peut également prendre la forme :

n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}

où le coefficient A est une approximation de la contribution de l'absorption des courtes longueurs d'onde (par exemple, ultraviolet) à l'indice de réfraction dans les longueurs d'onde plus grandes.

[réf. nécessaire]

Coefficients

Table de coefficients de l'équation de Sellmeier
Matériau	B₁	B₂	B₃	C₁	C₂	C₃
Al₂O₃ Alumine (indice ordinaire)	1,431 349 30	6,505 471 3 × 10⁻¹	5,341 402 1	5,279 926 1 × 10⁻³ µm²	1,423 826 47 × 10⁻² µm²	3,250 178 34 × 10² µm²
Al₂O₃ Alumine (indice extraordinaire)	1,503 975 9	5,506 914 1 × 10⁻¹	6,593 737 9	5,480 411 29 × 10⁻³ µm²	1,479 942 81 × 10⁻² µm²	4,028 951 4 × 10² µm²
BK7	1,039 612 12	2,317 923 44 × 10⁻¹	1,010 469 45	6,000 698 67 × 10⁻³ µm²	2,001 791 44 × 10⁻² µm²	1,035 606 53 × 10² µm²

Notes et références

(de) Wilhelm Sellmeier, « Zur Erklärung der abnormen Farbenfolge im Spectrum einiger Substanzen », Annalen der Physik und Chemie, n^o 219,‎ 1871, p. 272-282
(en) Refractive index and dispersion, Schott AG, coll. « Technical information » (n^o 29) (lire en ligne)
(en) Alexis Mendez et T. F. Morse, Specialty optical fibers handbook, 11-mois=octobre 2011, 840 p. (lire en ligne), p. 39

Voir aussi

Liens externes

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