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Équation de Schwinger-Dyson

L’équation de Schwinger-Dyson, d'après Julian Schwinger et Freeman Dyson, est une équation de la théorie quantique des champs.

Dérivation

Étant donné une fonction bornée F sur les configurations du champ, alors pour tout vecteur d'état (qui est solution de la théorie quantique des champs), il y a :

avec S la fonctionelle d'action et l'opérateur d'ordonnation du temps.

D'une même manière, dans la formulation de la matrice densité, pour tout état (valide) , il y a :

Cet ensemble infini d'équations peut être utilisé pour résoudre les fonctions de corrélation, sans utiliser une approche perturbative.

On peut également réduire l'action S en la séparant :

Le premier terme est la composante quadratique et un tenseur covariant symétrique et réversible (antisymétrique pour les fermions) de rang 2 dans la notation de deWitt. Les équations peuvent être réécrites ainsi :

Si F est une fonctionnelle de φ, alors pour un opérateur K, F[K] est définie comme un opérateur qui remplace K par φ. Par exemple, si

et que G est une fonction de J, alors :

.

S'il y a une fonction analytique Z (appelée fonctionnelle génératrice) de J (appelée champ source) satisfaisant l'équation :

,

alors l'équation de Schwinger-Dyson pour la génératrice Z est :

En développant cette équation en série de Taylor pour J proche de 0, le jeu entier des équations de Schwinger-Dyson est obtenu.

Références

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