Équation de Gross-Pitaevskii

On considère un gaz dilué de ${\displaystyle N}$ bosons ultra-froids dans un potentiel de confinement ${\displaystyle V_{ext}}$, interagissant entre eux via un potentiel ne dépendant que de la distance entre 2 bosons ${\displaystyle V_{int}(\vert \mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\vert )}$. Le hamiltonien de ce système est donc :

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({{\mathbf {p} _{i}}^{2} \over 2m}+V_{ext}(\mathbf {r} _{i})\right)+{1 \over 2}\sum _{i\neq j}^{N}V_{int}(\vert \mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\vert )}$.

Dans l’approximation de Hartree, la fonction d’onde totale ${\displaystyle \Phi }$ du système est considérée comme étant le produit des fonctions d’onde à une particule ${\displaystyle \Phi }$ :

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\Phi (\mathbf {r} _{1})\Phi (\mathbf {r} _{2})\dots \Phi (\mathbf {r} _{N})}$.

Une telle forme pour la fonction d'onde totale ${\displaystyle \Phi }$ signifie que les bosons sont tous dans le même état, ce qui est raisonnable à ultra-basse température. De plus, cette fonction d'onde reste inchangée par permutation de 2 particules, ce qui correspond bien à un système bosonique.

Puisque le gaz est dilué, la distance moyenne entre atomes est beaucoup plus grande que la distance caractéristique d’interaction. On considère alors que :

${\displaystyle V_{int}(\vert \mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\vert )\approx g\delta (\vert \mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\vert )}$,

où ${\displaystyle \delta }$ est la fonction de Dirac. La théorie de la diffusion (en) nous donne la valeur de la constante de normalisation ${\displaystyle g={4\pi \hbar ^{2}a \over m}}$ où ${\displaystyle a}$ est la longueur de diffusion à énergie nulle de la collision élastique en onde s entre deux bosons, ${\displaystyle \hbar }$ est la constante de Planck réduite et ${\displaystyle m}$ la masse d'un boson.

On peut montrer[1] que si la fonction d’onde à une particule ${\displaystyle \Phi }$ satisfait l'équation de Gross-Pitaevskii, alors la fonction d’onde totale ${\displaystyle \Psi }$ minimise l’énergie du hamiltonien ${\displaystyle H}$ sous la contrainte de normalisation ${\displaystyle \int \vert \Psi \vert ^{2}dV=1}$.

• Il est remarquable que cette équation corresponde à l'équation de Schrödinger du gaz parfait à laquelle on ajoute un terme non linéaire. L'équation de Gross-Pitaevskii est d'ailleurs souvent appelée équation de Schrödinger non linéaire par les mathématiciens.

• Le choix de la condition de normalisation est essentiel pour l'obtention de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cependant, en changeant cette normalisation, on change l'équation. Elle devient par exemple ${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{ext}(\mathbf {r} )+g\vert \Phi (\mathbf {r} )\vert ^{2}\right)\Phi (\mathbf {r} )=\mu \Phi (\mathbf {r} )}$ si on choisit ${\displaystyle \int \vert \Phi \vert ^{2}dV=N}$. Malgré les apparences, ceci n'est qu'un artifice mathématique, et ne change rien à la physique sous-jacente.