Éléments d'analyse

Tome I[1]

I - Éléments de la théorie des ensembles.

• 1. Éléments et ensembles.
• 2. Calcul booléen.
• 3. Produit de deux ensembles.
• 4. Applications.
• 5. Images directes et réciproques.
• 6. Applications surjectives, injectives, bijectives.
• 7. Compositions d'applications.
• 8. Familles d'éléments. Réunion et intersection de famille d'ensembles.
• 9. Ensembles dénombrables.

II - Nombres réels.

• 1. Axiomes des nombres réels.
• 2. Structure d'ordre des nombres réels.
• 3. Borne supérieure et borne inférieure.

III - Espaces métriques.

• 1. Distances et espaces métriques.
• 2. Exemples de distances.
• 3. Isométries.
• 4. Boules, sphères, diamètre.
• 5. Ensembles ouverts.
• 6. Voisinages.
• 7. Intérieur d'un ensemble.
• 8. Ensembles fermés, points adhérents, adhérence d'un ensemble.
• 9. Parties denses, espaces séparables.
• 10. Sous-espaces d'un espace métrique.
• 11. Applications continues.
• 12. Homéomorphismes. Distances équivalentes.
• 13. Limites.
• 14. Suites de Cauchy, espaces complets.
• 15. Théorèmes élémentaires de prolongement.
• 16. Espaces compacts.
• 17. Ensembles compacts.
• 18. Espaces localement compacts.
• 19. Espaces connexes et ensembles connexes.
• 20. Produit de deux espaces métriques.

IV - Propriétés particulières à la droite réelle.

• 1. Continuité des opérations algébriques.
• 2. Fonctions monotones.
• 3. Logarithmes et exponentielles.
• 4. Les nombres complexes.
• 5. Le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn.

V - Espaces normés.

• 1. Espaces normés et espaces de Banach.
• 2. Séries dans un espace normé.
• 3. Séries absolument convergentes.
• 4. Sous-espaces et produits finis d'espaces normés.
• 5. Condition de continuité d"une application multilinéaire.
• 6. Normes équivalentes.
• 7. Espaces d'applications multilinéaires continues.
• 8. Hyperplans fermés et formes linéaires continues.
• 9. Espaces normés de dimension finie.
• 10. Espaces normés séparables.

VI - Espaces de Hilbert.

• 1. Formes hermitiennes.
• 2. Formes hermitiennes positives.
• 3. Projection orthogonale sur un sous-espace complet.
• 4. Somme hilbertienne d'espaces de Hilbert.
• 5. Systèmes orthonormaux.
• 6. Orthonormalisation.

VII - Espaces de fonctions continues.

• 1. Espaces de fonctions bornées.
• 2. Espaces de fonctions continues bornées.
• 3. Le théorème d'approximation de Stone-Weierstrass.
• 4. Application.
• 5. Ensembles équicontinus.
• 6. Fonctions réglées.

VIII - Calcul différentiel.

• 1. Dérivée d'une application continue.
• 2. Règles formelles de dérivation.
• 3. Dérivées dans des espaces de fonctions linéaires continues.
• 4. Dérivées des fonctions d'une variable.
• 5. Le théorème de la moyenne.
• 6. Applications du théorème de la moyenne.
• 7. Primitives et intégrales.
• 8. Application : le nombre e.
• 9. Dérivées partielles.
• 10. Jacobiens.
• 11. Dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
• 12. Dérivées d'ordre supérieur.
• 13. Opérateurs différentiels.
• 14. Formule de Taylor.

IX - Fonctions analytiques.

• 1. Séries entières.
• 2. Substitution de séries entières dans une série entière.
• 3. Fonctions analytiques.
• 4. Le principe de prolongement analytique.
• 5. Exemples de fonctions analytiques ; la fonction exponentielle ; le nombre ${\displaystyle pi}$.
• 6. Intégration le long d'une route.
• 7. Primitive d'une fonction analytique dans un domaine simplement connexe.
• 8. Indice d'un point par rapport à une circuit.
• 9. La formule de Cauchy.
• 10. Caractérisation des fonctions analytiques de variables complexes.
• 11. Le théorème de Liouville.
• 12. Suites convergentes de fonctions analytiques.
• 13. Ensembles équicontinus de fonctions analytiques.
• 14. La série de Laurent.
• 15. Points singuliers isolés ; pôles ; zéros ; résidus.
• 13. Le théorème des résidus.
• 14. Fonctions méromorphes.

Appendice au Chapitre IX. - Application des fonctions analytiques à la topologie plane.

• 1. Indice d'un point par rapport à un lacet.
• 2. Applications essentielles dans le cercle unité.
• 3. Coupures du plan.
• 4. Arcs simples et courbes fermées simples.

X - Théorèmes d'existence.

• 1. La méthode des approximations successives.
• 2. Fonctions implicites.
• 3. Le théorème du rang.
• 4. Équations différentielles.
• 5. Comparaison des solutions d'équations différentielles.
• 6. Équations différentielles linéaires.
• 7. Dépendance des paramètres.
• 8. Dépendance des conditions initiales.
• 9. Le théorème de Frobenius.

XI - Théorie spectrale élémentaire.

• 1. Spectre d'un opérateur continu.
• 2. Opérateurs compacts.
• 3. La théorie de F. Riesz.
• 4. Spectre d'un opérateur compact.
• 5. Opérateurs compacts dans les espaces de Hilbert.
• 6. L'équation intégrale de Fredholm.
• 7. Le problème de Sturm-Liouville.

Annexe - Éléments d'algèbre linéaire.

• 1. Espaces vectoriels.
• 2. Applications linéaires.
• 3. Sommes directes de sous-espaces.
• 4. Bases. Dimensions et codimension.
• 5. Matrices.
• 6. Applications multilinéaires. Déterminants.
• 7. Mineurs d'un déterminant.

Tome II[2]

XII - Compléments de topologie et d'algèbre topologique.

• 1. Espaces topologiques.
• 2. Notions topologiques.
• 3. Espaces séparés.
• 4. Espaces uniformisables.
• 5. Produits d'espaces uniformisables.
• 6. Recouvrements localement finis et partitions de l'unité.
• 7. Fonctions semi-continues.
• 8. Groupes topologiques.
• 9. Groupes métrisables.
• 10. Espaces à opérateurs et espaces d'orbites.
• 11. Espaces homogènes.
• 12. Groupes quotients.
• 13. Espaces vectoriels topologiques.
• 14. Espaces localement convexes.
• 15. Topologies faibles.
• 16. Le théorème de Baire et ses conséquences.

XIII - Intégration.

• 1. Définition d'une mesure.
• 2. Mesures réelles.
• 3. Mesures positives. Valeur absolue d'une mesure.
• 4. Topologie vague.
• 5. Intégrales supérieure et inférieure par rapport à une mesure positive.
• 6. Fonctions et ensembles négligeables. Fonctions et ensembles intégrables.
• 7. Les théorèmes de convergence de Lebesgue.
• 8. Fonctions mesurables.
• 9. Intégrales de fonctions vectorielles.
• 10. Les espaces L¹ et L².
• 11. Intégration par rapport à une mesure positive.
• 12. Le théorème de Lebesgue-Nikodym.
• 13. Applications : I. Intégration par rapport à une mesure complexe.
• 14. Applications : II. Dual de L¹.
• 15. Décompositions canoniques d'une mesure.
• 16. Support d'une mesure. Mesures à support compact.
• 17. Mesures bornées.
• 18. Produit de mesures.

XIV - Intégration dans les groupes localement compacts.

• 1. Existence et unicité d'une mesure de Haar.
• 2. Cas particuliers et exemples.
• 3. Fonction module sur un groupe ; module d'un automorphisme.
• 4. Mesure de Haar sur un groupe quotient.
• 5. Convolution de mesures sur un groupe localement compact.
• 6. Exemples et cas particuliers de convolutions de mesures.
• 7. Propriétés algébriques de la convolution.
• 8. Convolution d'une mesure et d'une fonction.
• 9. Exemples de convolutions de mesures et de fonctions.
• 10. Convolution de deux fonctions.
• 11. Régularisation.

XV - Algèbres normées et théorie spectrale.

• 1. Algèbres normées.
• 2. Spectre d'un élément d'une algèbre normée.
• 3. Caractères et spectre d'une algèbre de Banach commutative. Transformation de Gelfand.
• 4. Algèbres de Banach involutives et algèbres stellaires.
• 5. Représentations des algèbres involutives.
• 6. Formes linéaires positives et représentations ; formes hilbertiennes positives.
• 7. Traces, bitraces et algèbres hilbertiennes.
• 8. Algèbres hilbertiennes complètes.
• 9. Le théorème de Plancherel-Godement.
• 10. Représentations des algèbres de fonctions continues
• 11. La théorie spectrale de Hilbert.
• 12. Opérateurs normaux non bornés.
• 13. Prolongements des opérateurs hermitiens non bornés.

Tome III[3]

XVI -Variétés différentielles.

• 1. Cartes, atlas, variétés.
• 2. Exemples de variétés différentielles. Difféomorphismes.
• 3. Applications différentiables.
• 4. Partitions différentiables de l'unité.
• 5. Espaces tangents ; applications linéaires tangentes ; rang.
• 6. Produits de variétés.
• 7. Immersions, submersions, subimmersions.
• 8. Sous-variétés.
• 9. Groupes de Lie.
• 10. Espaces d'orbites; espaces homogènes.
• 11. Exemples: groupes unitaires, variétés de Stiefel, grassmaniennes, espaces projectifs.
• 12. Fibrations.
• 13. Définition de fibrations par des cartes.
• 14. Espaces fibrés principaux.
• 15. Espaces fibrés vectoriels.
• 16. Opérations sur les fibrés vectoriels.
• 17. Suites exactes, sous-fibrés et fibrés quotients.
• 18. Morphismes canoniques de fibrés vectoriels.
• 19. Image réciproque d'un fibré vectoriel.
• 20. Formes différentielles.
• 21. Variétés orientables et orientations.
• 22. Changements de variables dans les intégrales multiples et mesures lebesguiennes.
• 23. Le théorème de Sard.
• 24. Intégrale d'une n-forme différentielle sur une variété pure orientée de dimension n.
• 25. Théorèmes de plongement et d'approximation. Voisinages tubulaires.
• 26. Homotopies et isotopies différentiables.
• 27. Groupe fondamental d'une variété connexe.
• 28. Revêtements et groupe fondamental.
• 29. Revêtement universel d'une variété différentielle.
• 30. Revêtements d'un groupe de Lie.

XVII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.

I. Distributions et opérateurs différentiels.

• 1. Les espaces ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{(r)}(U)}$ (U ouvert dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).
• 2. Espaces de sections ${\displaystyle C^{\infty }}$ (resp. ${\displaystyle C^{r}}$) de fibrés vectoriels.
• 3. Courants et distributions.
• 4. Définition locale d'un courant. Support d'un courant.
• 5. Courants sur une variété orientée. Distributions sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• 6. Distributions réelles. Distributions positives.
• 7. Distributions à support compact. Distributions ponctuelles.
• 8. Topologie faible sur les espaces de distributions.
• 9. Exemple : parties finies d'intégrales divergentes.
• 10. Produit tensoriel de distributions.
• 11. Convolution des distributions sur un groupe de Lie.
• 12. Régularisation des distributions.
• 13. Opérateurs différentiels et champs de distributions ponctuelles.
• 14. Champs de vecteurs comme opérateurs différentiels.
• 15. Différentielle extérieure d'une p-forme différentielle.
• 16. Connexions sur un fibré vectoriel.
• 17. Opérateurs différentiels associés à une connexion.
• 18. Connexions sur une variété différentielle.
• 19. Différentielle extérieure covariante.
• 20. Courbure et torsion d'une connexion.

Annexe -Compléments d'algèbre (suite).

• 8. Modules ; modules libres.
• 9. Dualité des modules libres.
• 10. Produits tensoriels de modules libres.
• 11. Tenseurs.
• 12. Tenseurs symétriques et antisymétriques.
• 13. Algèbre extérieure.
• 14. Dualité dans l'algèbre extérieure.
• 15. Produits intérieurs.
• 16. Formes bilinéaire alternées non dégénérées et groupe symplectique.
• 17. Algèbre symétrique.
• 18. Dérivations et antidérivations des algèbres graduées.
• 19. Algèbre de Lie.

Tome IV[4]

XVIII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.

II.Théorie globale élémentaire des équations différentielles du premier et du second ordre.

Théorie locale élémentaire des systèmes différentiels.

• 1. Équations différentielles du premier ordre sur une variété différentielle.
• 2. Coulée d'un champ de vecteurs.
• 3. Équations différentielles du second ordre sur une variété.
• 4. Champs isochrones et équations du second ordre isochrones.
• 5. Propriétés de convexité des équations différentielles isochrones.
• 6. Géodésiques d'une connexion.
• 7. Familles de géodésiques à un paramètre et champs de Jacobi.
• 8. Champs de p-directions, systèmes de Pfaff et systèmes d'équations aux dérivées partielles.
• 9. Systèmes différentiels.
• 10. Éléments intégraux d'un système différentiel.
• 11. Position du problème d'intégration.
• 12. Le théorème de Cauchy-Kowalewska.
• 13. Le théorème de Cartan-Kähler.
• 14. Systèmes de Pfaff complètement intégrables.
• 15. Variétés intégrales singulières; variétés caractéristiques.
• 16. Caractéristiques de Cauchy.
• 17. Exemples : I. Équations aux dérivées partielles du premier ordre.
• 18. Exemples : II. Équations aux dérivées partielles du second ordre.

XIX - Groupe de Lie et algèbres de Lie.

• 1. Opérations équivariantes d'un groupe de Lie sur les espaces fibrés.
• 2. Opérations d'un groupe de Lie G sur les fibrés de base G.
• 3. Algèbre infinitésimale et algèbre de Lie d'un groupe de Lie.
• 4. Exemples.
• 5. La formule de Taylor dans un groupe de Lie.
• 6. Algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie.
• 7. Groupes de Lie immergés et sous-algèbres de Lie.
• 8. Connexions invariantes, sous-groupes à un paramètre et application exponentielle.
• 9. Propriétés de l'application exponentielle.
• 10. Sous-groupes fermés des groupes de Lie.
• 11. Représentation adjointe. Normalisateurs et centralisateurs.
• 12. Algèbre de Lie du groupe des commutateurs.
• 13. Groupes d'automorphismes des groupes de Lie.
• 14. Produits semi-directs de groupes de Lie.
• 15. Différentielle d'une application dans un groupe de Lie.
• 16. Formes différentielles invariantes et mesure de Haar sur un groupe de Lie.
• 17. Groupes de Lie complexes.

XX - Connexions principales et géométrie riemannienne.

• 1. Le fibré des repères d'un espace fibré vectoriel.
• 2. Connexions principales sur les fibrés principaux.
• 3. Différentiation extérieure covariante attachée à une connexion principale et forme de courbure d'une connexion principale.
• 4. Exemples de connexions principales.
• 5. Connexions linéaires associées à une connexion principale.
• 6. La méthode du repère mobile.
• 7. G-structures.
• 8. Généralités sur les variétés pseudo-riemanniennes.
• 9. La connexion de Levi-Civita.
• 10. Le tenseur de Riemann-Christoffel.
• 11. Exemples de variétés riemanniennes et pseudo-riemanniennes.
• 12. Métrique riemannienne induite sur une sous-variété.
• 13. Courbes dans les variétés riemanniennes.
• 14. Hypersurfaces dans les variétés riemanniennes.
• 15. Le problème d'immersion.
• 16. La structure d'espace métrique d'une variété riemannienne. Étude locale.
• 17. Boules strictement géodésiquement convexes.
• 18. La structure d'espace métrique d'une variété riemannienne. Étude globale. Variétés riemanniennes complètes.
• 19. Géodésiques périodiques.
• 20. Première et seconde variation de la longueur d'arc et champs de Jacobi d'une variété riemannienne.
• 21. Courbure bidimensionnelle.
• 22. Variétés à courbure bidimensionnelle positive ou à courbure bidimensionnelle négative.
• 23. Variétés riemanniennes à courbure constante.

Annexe -Compléments d'algèbre (suite).

• 20. Produits tensoriels d'espaces vectoriels de dimension infinie.
• 21. Algèbres de séries formelles.

XXI -Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples[5].

• 1. Représentations unitaires continues de groupes localement compacts.
• 2. L'algèbre hilbertienne d'un groupe compact.
• 3. Caractères d'un groupe compact.
• 4. Représentations unitaires continues des groupes compacts.
• 5. Formes bilinéaires invariantes; formes de Killing.
• 6. Groupes de Lie semi-simples; critères de semi-simplicité d'un groupe de Lie compact.
• 7. Tores maximaux des groupes de Lie compacts connexes.
• 8. Racines et sous-groupes presque simples de rang un.
• 9. Représentation linéaire de SU(2).
• 10. Propriétés des racines d'un groupe compact semi-simple.
• 11. Bases d'un système de racines.
• 12. Exemples : groupes compacts classiques.
• 13. Représentations linéaires des groupes de Lie compacts connexes.
• 14. Éléments anti-invariants.
• 15 Les formules de H. Weyl.
• 16. Centre, groupe fondamental et représentations irréductibles des groupes compacts connexes semi-simples.
• 17. Complexifiés des groupes compacts connexes semi-simples.
• 18. Formes réelles des complexifiés des groupes compacts connexes semi-simples et espaces symétriques.
• 19. Racines d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.
• 20. Bases de Weyl.
• 21. La décomposition d'Iwasawa.
• 22. Critère de résolubilité de E. Cartan.
• 23. Le théorème de E. E. Levi.

Annexe -Compléments d'algèbre (suite).

• 22. Modules simples.
• 23. Modules semi-simples.
• 24. Exemples.
• 25. Décomposition canonique d'un endomorphisme.
• 26. Z-modules de type fini.

XXII - Analyse harmonique[6].

• 1. Fonctions continues de type positif.
• 2. Mesures de type positif.
• 3. Représentations induites.
• 4. Représentations induites et restrictions de représentations à des sous-groupes.
• 5. Traces partielles et représentations induites dans les groupes compacts.
• 6. Groupes de Gelfand et fonctions sphériques.
• 7. Transformation de Plancherel et transformation de Fourier.
• 8. Les espaces P(G) et P'(${\displaystyle \mathbb {Z} }$).
• 9. Fonctions sphériques de type positif et représentations irréductibles.
• 10. Analyse harmonique commutative et dualité de Pontrjagin.
• 11. Dual d'un sous-groupe et d'un groupe quotient.
• 12. Formule de Poisson.
• 13. Dual d'un produit.
• 14. Exemples de dualité.
• 15. Représentations unitaires continues des groupes commutatifs localement compacts.
• 16. Fonctions déclinantes sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• 17. Distributions tempérées.
• 18. Convolution des distributions tempérées et théorème de Paley-Wiener.
• 19. Distributions périodiques et séries de Fourier.
• 20. Les espaces de Sobolev.

XXIII - Équations fonctionnelles linéaires[7].

Première partie - Opérateurs pseudo-différentiels

• 1. Opérateurs intégraux.
• 2. Opérateurs intégraux de type propre.
• 3. Opérateurs intégraux sur les fibrés vectoriels.
• 4. Fibré des densités et sections noyaux.
• 5. Sections bornées.
• 6. Opérateurs de Volterra.
• 7. Opérateurs de Carleman.
• 8. Fonctions propres généralisées.
• 9. Distributions noyaux.
• 10. Distributions noyaux régulières.
• 11. Opérateurs régularisants et composition des opérateurs.
• 12. Microsupport singulier d'une distribution.
• 13. Équations de convolution.
• 14. Solutions élémentaires.
• 15. Problèmes d'existence et d'unicité pour les systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles.
• 16. Symboles d'opérateurs.
• 17. Intégrales oscillantes.
• 18. Opérateurs de Lax-Maslov.
• 19. Opérateurs pseudo-différentiels.
• 20. Symbole d'un opérateur pseudo-différentiel de type propre
• 21. Opérateurs pseudo-différentiels matriciels.
• 22. Paramétrix des opérateurs elliptiques sur un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• 23. Opérateurs pseudo-différentiels dans les espaces ${\displaystyle H_{0}^{n}(X)}$.
• 24. Problème de Dirichlet classique et problèmes de Dirichlet grossiers.
• 25. L'opérateur de Green.
• 26. Opérateurs pseudo-différentiels sur une variété.
• 27. Adjoint d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété. Composé de deux opérateurs pseudo-différentiels sur une variété.
• 28. Extension des opérateurs pseudo-différentiels aux sections distributions.
• 29. Symboles principaux.
• 30. Paramétrix des opérateurs elliptiques : cas des variétés.
• 31. Théorie spectrale des opérateurs elliptiques hermitiens : I. Prolongements autoadjoints et conditions aux limites.
• 32. Théorie spectrale des opérateurs elliptiques hermitiens : II. Fonctions propres généralisées.
• 33. Opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : I. Opérateurs de convolution hermitien sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• 34. Opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : II. Spectres atomiques.
• 35. Opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : III. Opérateurs elliptiques sur une variété compacte.
• 36. Opérateurs différentiels invariants.
• 37. Propriétés différentielles des fonctions sphériques.
• 38. Exemple : harmoniques sphériques.

XXIII - Équations fonctionnelles linéaires[8].

Deuxième partie - Problèmes aux limites

• 39. La théorie de Weyl-Kodeira : I. Opérateurs différentiels elliptiques dans un intervalle de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• 40. La théorie de Weyl-Kodeira : II. Conditions aux limites.
• 41. La théorie de Weyl-Kodeira : III. Opérateurs autoadjoints associés à une équation différentielle linéaire.
• 42. La théorie de Weyl-Kodeira : IV. Fonction de Green et spectre.
• 43. La théorie de Weyl-Kodeira : V. Le cas des équations du second ordre.
• 44. La théorie de Weyl-Kodeira : VI. Exemple : équations du second ordre à coefficients périodiques.
• 45. La théorie de Weyl-Kodeira : VII. Exemple : équations de Gelfand-Levitan.
• 46. Potentiels multicouches : I. Symboles de type rationnel.
• 47. Potentiels multicouches : II. Cas des multicouches hyperplanes.
• 48. Potentiels multicouches : III. Cas général.
• 49. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : I. L'opérateur de Calderon.
• 50. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : II. Problèmes aux limites elliptiques.
• 51. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : III. Critères d'ellipticité.
• 52. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : IV. Les espaces ${\displaystyle H^{s,r}(U_{+})}$.
• 53. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : V. Les espaces ${\displaystyle H^{s,r}}$ et P-potentiels.
• 54. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : VI. La régularité à la frontière.
• 55. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : VII. Problèmes coercitifs.
• 56. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : VIII. Formules de Green généralisées.
• 57. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : IX. Problèmes fins associés aux problèmes coercitifs.
• 58. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : X. Exemples.
• 59. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : XI. Extension à certains opérateurs non hermitiens.
• 60. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : XII. Cas des opérateurs du second ordre; problème de Neumann.
• 61. Problèmes aux limites fins pour les opérateurs différentiels elliptiques : XIII. Le principe du maximum.
• 62. Équations paraboliques : I. Construction d'une résolvante unilatérale locale.
• 63. Équations paraboliques : II. Le problème de Cauchy généralisé.
• 64. Équations paraboliques : III. Traces et valeurs propres.
• 65. Distributions évolutives.
• 66. L'équation des ondes : I. Le problème de Cauchy généralisé.
• 67. L'équation des ondes : II. Propagation et domaine d'influence.
• 68. L'équation des ondes : III. Signaux, ondes et rayons.
• 69. Équations strictement hyperboliques : I. Résultats préliminaires.
• 70. Équations strictement hyperboliques : II. Construction d'une résolvante approchée locale.
• 71. Équations strictement hyperboliques : III. Exemples et variantes.
• 72. Équations strictement hyperboliques : IV. Le problème de Cauchy pour les opérateurs différentiels strictement hyperboliques; existence et unicité locales.
• 73. Équations strictement hyperboliques : V. Problèmes globaux.
• 74. Équations strictement hyperboliques : VI. Extension aux variétés.
• 75. Application au spectre d'un opérateur elliptique hermitien.

XXIV - Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire[9]

• 1. Cohomologie et cohomologie à supports compacts d'une variété différentielle.
• 2. La formule d'homotopie.
• 3. Les suites de Mayer-Vietoris.
• 4. Cohomologie des sphères.
• 5. Le théorème de Künneth.
• 6. La dualité de Poincaré.
• 7. Cohomologie d'une sous-variété compacte;
• 8. Les degrés de Brouwer.
• 9. Degré d'une application.
• 10. Homologie des courants.
• 11. Homologie des courants sur une variété orientée.
• 12. Régularisation des courants.
• 13. L'anneau d'intersection.
• 14. La formule de Stokes.
• 15. Applications : I. Nombre de racines d'une équation.
• 16. Applications : II. Intersections de courbes algébriques sur une surface algébrique.
• 17. Homologie des courants cellulaires.
• 18. Subdivisions cellulaires et simpliciales.
• 19. Bords des courants simpliciaux.
• 20. Chaînes simpliciales formelles et homologie singulière.
• 21. Lemmes de subdivision.
• 22. Propriétés de l'homologie singulière.
• 23. Les théorèmes de de Rham : I. Courants associés à une subdivision simpliciale.
• 24. Les théorèmes de de Rham : II. Approximation d'un courant par les courants d'une subdivision simpliciale.
• 25. Les théorèmes de de Rham : III. Prolongement de p-formes.
• 26. Les théorèmes de de Rham : IV. Fin de la démonstration.
• 27. Structure des modules d'homologie.
• 28. Homologie des complexes simpliciaux euclidiens compacts.
• 29. La cohomologie singulière.
• 30. Structure des groupes d'homologie.
• 31. L'anneau de cohomologie singulière.
• 32. Cohomologie singulière des complexes simpliciaux euclidiens compacts.
• 33. Cohomologie singulière d'une variété différentielle.
• 34. La cohomologie singulière à supports compacts.
• 35. Homologie et cohomologie singulière relatives.
• 36. Cohomologie relative et cohomologie à supports compacts.
• 37. Excision et suites de Mayer-Vietoris relatives.
• 38. Cohomologie des produits de variétés et des espaces fibrés.
• 39. Suite de Gysin et classe d'Euler.
• 40. Cohomologie des grassmanniennes.
• 41. Classes de Chern.
• 42. Propriétés des classes de Chern.
• 43. Classes de Pontrjagin.
• 44. Compléments sur les formes différentielles vectorielles et les connexions principales.
• 45. L'homomorphisme de Weil.
• 46. Courbure et classes caractéristiques.
• 47. Classes de Stiefel-Whitney.
• 48. La théorie de Hodge.
• 49. La formule de Atiyah-Bott-Lefschetz.
• 50. Applications : I. La formule de Hopf pour les champs de vecteurs.
• 51. Applications : II. Formules de Bott pour les classes caractéristiques.
• 52. Cohomologie des groupes de Lie.
• 53. Éléments primitifs.

Annexe -Compléments d'algèbre

• 27. Produits infinis de modules.
• 28. Produits tensoriels de modules.
• 29. Suites exactes.
• 30. Cohomologie d'un module différentiel gradué.
• 31. Homologie et cohomologie d'un Z-module codifférentiel gradué libre.
• 32. Compléments sur les espaces vectoriels.
• 33. Le pfaffien.
• 34. Compléments sur les Z-modules de type fini.