Écoulements torrentiel et fluvial

Le régime fluvial est caractérisé par un nombre de Froude ${\textstyle F_{r}<1}$. Ainsi, la célérité des ondes de surface est supérieure à la vitesse de l'écoulement du fluide. Ceci se traduit par une hauteur d'eau ${\textstyle h}$ importante et supérieure à la hauteur d'eau critique ${\textstyle h_{c}}$ de l'écoulement (${\textstyle h>h_{c}}$). La pente ${\displaystyle I}$ de l'écoulement est quant à elle inférieure à la pente critique ${\displaystyle I_{c}}$ de l'écoulement (${\textstyle I<I_{c}}$).

Le régime critique est caractérisé par un nombre de Froude ${\textstyle F_{r}=1}$. Ainsi, la célérité des ondes de surface est égale à la vitesse de l'écoulement du fluide. Ceci se traduit par une hauteur d'eau ${\textstyle h}$ égale à la hauteur d'eau critique ${\textstyle h_{c}}$ de l'écoulement (${\textstyle h=h_{c}}$). La pente ${\displaystyle I}$ de l'écoulement est donc égale à la pente critique ${\displaystyle I_{c}}$ de l'écoulement (${\textstyle I<I_{c}}$).

Le régime torrentiel est caractérisé par un nombre de Froude ${\textstyle F_{r}>1}$. Ainsi, la célérité des ondes de surface est inférieure à la vitesse de l'écoulement du fluide. Ceci se traduit par une hauteur d'eau ${\textstyle h}$ faible et inférieur à la hauteur d'eau critique ${\textstyle h_{c}}$ de l'écoulement (${\textstyle h<h_{c}}$). La pente ${\displaystyle I}$ de l'écoulement est quant à elle supérieure à la pente critique ${\displaystyle I_{c}}$ de l'écoulement (${\textstyle I>I_{c}}$).

Le nombre de Reynolds est utilisé en plus du nombre de Froude afin de caractériser plus finement le type d'écoulement, en particulier son caractère turbulent[1].

${\displaystyle R_{e}={\frac {Vh}{\nu }}}$ où ${\displaystyle \nu }$ correspond à la viscosité cinématique du fluide. Ainsi, on peut préciser:

• ${\textstyle F_{r}<1}$, ${\displaystyle R_{e}<500}$ écoulement fluvial et laminaire
• ${\textstyle F_{r}<1}$, ${\displaystyle R_{e}>2000}$ écoulement fluvial et turbulent
• ${\textstyle F_{r}>1}$, ${\displaystyle R_{e}<500}$ écoulement torrentiel et laminaire
• ${\textstyle F_{r}>1}$, ${\displaystyle R_{e}>2000}$ écoulement torrentiel et turbulent

La charge hydraulique correspond en réalité à l’énergie par unité de poids en un point. Cette quantité peut être décrite en termes de hauteur de colonne d'eau comme la somme de l'énergie potentielle, de l'énergie de pression et de l'énergie cinétique. Pour l'exprimer, on se sert souvent du théorème de Bernouilli. Dans notre cas, la charge ${\displaystyle H_{M}}$ au point M s'exprime comme suit[1] - [2] - [3] - [4]:

${\displaystyle H_{M}=Z_{M}+\Delta Z+{\frac {V_{M}^{2}}{2g}}=Z_{M}+\Delta z\cos(\alpha )+{\frac {V_{M}^{2}}{2g}}=Z_{I}+{\frac {V_{M}^{2}}{2g}}=Z_{f}+h\cos(\alpha )+{\frac {V_{M}^{2}}{2g}}}$

La charge moyenne revient à calculer la moyenne de la charge dans la section mouillée[1]. On l'écrit:

${\displaystyle H={\frac {1}{S}}\iint H_{M}dzdy}$

On obtient après calcul:

${\displaystyle H=Z_{I}+{\frac {V^{2}}{2g}}=Z_{f}+h\cos(\alpha )+{\frac {V^{2}}{2g}}}$

La charge spécifique revient à calculer la charge par rapport au fond du canal et non par rapport à l'origine du repère[1]. On la définit donc comme:

${\displaystyle H_{s}=H-Z_{f}=h\cos(\alpha )+{\frac {V^{2}}{2g}}}$

On parle de régime établi d'un écoulement lorsque ce dernier possède des caractéristiques constantes dans l'espace et au cours du temps. Ainsi, le débit, la vitesse de l'écoulement, la hauteur d'eau et la surface mouillée sont des constantes.

L'application du théorème de Bernoulli avec perte de charge ${\displaystyle \Delta H}$ sur une ligne de courant entre deux points au niveau de la surface libre revient à écrire:

${\displaystyle {\frac {V_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{1}}{\rho g}}+z_{1}={\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{2}}{\rho g}}+z_{2}+\Delta H}$

Or, toutes les grandeurs sont constantes. Il reste seulement:

${\displaystyle z_{1}=z_{2}+\Delta H}$ avec ${\displaystyle z_{1}=z_{2}+\Delta X\tan(\alpha )}$

on obtient donc:

${\displaystyle J=-{\frac {dH}{dx}}=\tan(\alpha )=-{\frac {dZ_{f}}{dx}}=I}$ où I est la pente de l'écoulement. C'est l'équation du régime établi (ou uniforme).

Or, cette perte de charge est directement liée aux frottements fluides. On note le coefficient de friction comme:

${\displaystyle C_{f}={\frac {\tau _{w}}{0.5\rho V^{2}}}}$ avec ${\displaystyle \tau _{w}}$ la force de friction. Ce dernier en peut être réécrit en appliquant le principe fondamental de la dynamique sur une particule de fluide comme ${\displaystyle \tau _{w}=\rho gR_{h}J}$. On retombe sur la formule de Chezy [1] - [2] - [3] - [4] reliant la pente de l'écoulement à sa vitesse:

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {2g}{C_{f}}}}{\sqrt {R_{H}J}}=C_{H}{\sqrt {R_{H}J}}}$

Cette formule a été par la suite complétée avec la formule de Manning-Strickler [1] - [2] - [3] - [4] pour laquelle ${\displaystyle C_{H}=k_{s}R_{H}^{1/6}}$ où ks est un coefficient. Ce qui donne:

${\displaystyle V=k_{s}R_{H}^{2/3}J^{1/2}}$

Comme nous sommes en régime uniforme I=J. On peut donc réécrire:

${\displaystyle I={\frac {V^{2}}{k_{s}^{2}R_{H}^{4/3}}}={\frac {Q^{2}}{k_{s}^{2}S^{2}(h)R_{H}^{4/3}(h)}}}$ où ${\displaystyle S}$ et ${\displaystyle R_{H}}$ sont des fonctions de la hauteur d'eau ${\displaystyle h}$. La résolution de cette équation donne la hauteur de l'écoulement.

La profondeur critique de l'écoulement peut s'obtenir de deux manières différentes soit en minimisant la charge hydraulique, soit en maximisant le débit volumique[1] - [3].

• Méthode 1: Minimisation de la charge:

${\displaystyle H=Z_{f}+h\cos(\alpha )+{\frac {Q^{2}}{2gS^{2}(h)}}}$

${\displaystyle {\frac {dH}{dh}}=0=\cos(\alpha )+{\frac {Q^{2}}{2g}}{\frac {d}{dh}}\left({\frac {1}{S^{2}}}\right)}$ or ${\displaystyle {\frac {d}{dh}}={\frac {dS}{dh}}{\frac {d}{dS}}}$ et on note ${\displaystyle L={\frac {dS}{dh}}}$

on obtient donc:

${\displaystyle 0=\cos(\alpha )-{\frac {Q^{2}L(h)}{gS^{3}(h)}}}$

La résolution de cette équation donne la valeur de la hauteur d'eau critique.

• Méthode 2: Maximisation du débit

On a ${\displaystyle V={\sqrt {2g(H_{s}-h\cos(\alpha ))}}}$ ce qui permet d'écrire le débit ${\displaystyle Q=VS=S(h){\sqrt {2g(H_{s}-h\cos(\alpha ))}}}$. La maximisation donne:

${\displaystyle {\frac {dQ}{dh}}=0=V{\frac {dS}{dh}}-S{\frac {g\cos(\alpha )}{V}}}$

Ceci nous amène donc à obtenir la même équation que précédemment sous une forme légèrement différente.

${\displaystyle 1={\frac {Q^{2}L}{gS^{3}\cos(\alpha )}}}$

Variation de la charge hydraulique

Posons ${\displaystyle F_{r}^{2}={\frac {Q^{2}L}{gS^{3}\cos(\alpha )}}}$ nous avons ${\displaystyle {\frac {dH}{dh}}={\frac {dH_{s}}{dh}}=\cos(\alpha )(1-F_{r}^{2})}$

Dans le cas d'un écoulement dans un canal ${\displaystyle 0<\alpha <90}$ donc ${\displaystyle \cos(\alpha )\geq 0}$.

• Si ${\displaystyle F_{r}=1,{\frac {dH}{dh}}=0,h=h_{c}}$ c'est le régime critique
• Si ${\displaystyle F_{r}<1,{\frac {dH}{dh}}<0,h<h_{c}}$ c'est le régime fluvial
• Si ${\displaystyle F_{r}>1,{\frac {dH}{dh}}>0,h>h_{c}}$ c'est le régime torrentiel

La valeur de la pente critique [1] - [3] est obtenue lorsque ${\displaystyle h=h_{c}}$ et donc ${\displaystyle F_{r}=1}$ ce qui nous donne:

${\displaystyle {\frac {Q^{2}}{S^{2}}}={\frac {g\cos(\alpha )S}{L}}}$ or en utilisant la formule de Manning-Strickler on obtient:

${\displaystyle I=\tan(\alpha _{c})={\frac {gS(h_{c})\cos(\alpha _{c})}{k_{s}^{2}R_{h}^{4/3}(h_{c})L(h_{c})}}}$

La résolution de cette équation nous donne la pente critique.

Evolution du débit en fonction de la charge spécifique

Dans le cas d'un canal rectangulaire à faible pente, nous avons ${\displaystyle S=Bh}$ et ${\displaystyle \cos(\alpha )\approx 1}$.

Le débit volumique s'écrit:

${\displaystyle Q=VS=Bh{\sqrt {2g(H_{s}-h)}}}$

La formule donnant la hauteur d'eau de l'écoulement s'écrit en appliquant la formule de la méthode 2 de la section profondeur critique de l'écoulement, on obtient:

${\displaystyle h_{c}={\frac {V^{2}}{g}}={\frac {Q^{2}}{B^{2}h_{c}^{2}g}}}$

ce qui nous donne une profondeur critique: ${\displaystyle h_{c}=\left({\frac {Q^{2}}{L^{2}g}}\right)={\frac {2}{3}}H_{s}}$

Positionnement du type d'écoulement sur la courbe du débit

On voit ici que pour un même débit, deux hauteurs d'eau sont possibles. Une faible hauteur d'eau implique une vitesse élevée et donc un régime torrentiel. Une hauteur d'eau élevée implique une faible vitesse et donc un écoulement fluvial.

Schéma d'écoulement graduellement varié

Un écoulement graduellement varié permet de caractériser l'écoulement lors d'un changement de pente qui va donc entraîner le passage d'un régime fluvial au régime torrentiel ou inversement [1] - [3].

On sait que l'on a:

${\displaystyle {\frac {dH}{dx}}={\frac {dH_{s}}{dx}}+{\frac {dZ_{f}}{dx}}}$ ce qui nous donne ${\displaystyle {\frac {dH_{s}}{dx}}=I-J}$

or on sait que l'on a:${\displaystyle {\frac {dH_{s}}{dh}}=\cos(\alpha )-{\frac {Q^{2}L(h)}{gS^{3}(h)}}}$

La division des deux équations nous donne:

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {I-J}{\cos(\alpha )-{\frac {Q^{2}L}{gS^{3}}}}}}$

Cette équation permet de caractériser l'évolution de la profondeur de l'eau en fonction de x.

Schéma du ressaut hydraulique

Le ressaut hydraulique est une surélévation brutale de la surface libre d'un écoulement permanent. Ce phénomène apparaît notamment lors d'un passage du régime torrentiel au régime fluvial. Il s'accompagne d'une chute brutale d'énergie et d'une baisse de la vitesse d'écoulement.

On appelle ${\displaystyle h_{1}}$ et ${\displaystyle h_{2}}$ les profondeurs conjuguées du ressaut [1] - [3]. Dans ce genre de configuration, le théorème de Bernoulli n'est plus applicable, d'une part car nous ne sommes plus en régime permanent et d'autre part, car la perte de charge n'est pas connue. Ainsi, pour déterminer la relation entre ces hauteurs, on utilise le théorème de la quantité de mouvement[1] - [3]:

${\displaystyle \sum {\overrightarrow {F}}=D_{m2}V_{2}-D_{m1}V_{1}}$ avec ${\displaystyle D_{m}}$ le débit massique. En négligeant les forces de frottement et de pesanteur, nous avons dans le cas d'un canal rectangulaire:

${\displaystyle \rho gS_{1}{\frac {h_{1}}{2}}-\rho gS_{2}{\frac {h_{2}}{2}}=\rho Q(V_{2}-V_{1})}$ avec ${\displaystyle S_{i}=Bh_{i}}$ et on note ${\displaystyle q=Q/B}$. On obtient la relation suivante:

${\displaystyle h_{1}+h_{2}={\frac {2q^{2}}{g}}({\frac {1}{h_{1}h_{2}}})}$

La résolution de cette équation nous donne les deux relations suivantes[1] - [3]:

${\displaystyle h_{1}={\frac {h_{2}}{2}}\left(-1+{\sqrt {1+8F_{r1}^{2}}}\right)}$

${\displaystyle h_{2}={\frac {h_{1}}{2}}\left(-1+{\sqrt {1+8F_{r2}^{2}}}\right)}$

En moyenne, la formule empirique qui permet de déterminer la longueur sur laquelle s'étend un ressaut est la suivante[1]:

${\displaystyle L=6(h_{2}-h_{1})}$

La perte de charge causée par le ressaut est donnée par la formule suivante[1]:

${\displaystyle \Delta H=H_{1}-H_{2}={\frac {(h_{2}-h_{1})^{3}}{4h_{1}h_{2}}}}$

• Noui, Abderrahmane & Abdellah, Saouli. (2019). PROBLÉMATIQUE DU RISQUE INONDATION EN MILIEU URBAIN ; CAS DE l'AGGLOMÉRATION D'ELBAYADH.

• https://www.univ-chlef.dz/fsnv/wp-content/uploads/MASTER-1-EAU-ET-ENVIRONNMENT-COURS-ECOULEMENT-FLUVIAL.pdf

• Anonyme, 1954. Handbook of Channel Design for Soil and Water Conservation. United State Department of Agriculture, Soil Conservation Service. SCS--TP--61.
• https://www.slideserve.com/ova/ecoulements-a-surface-libre

• Chow, Ven Te, 1959. Open--Channel Hydraulics. McGraw--Hill, Toronto.

• French, R. H. 1999. Hydraulics of Open Channel Flow. Dans : Mays, L. W. (éd.). 1999. Hydraulic Design Handbook. Mc Graw Hill, New York.

• Schwab, G.O., R.K. Frevert, T.W. Edminster et K.K. Barnes, 1966. Soil and Water Conservation Engineering.

• John Wiley and Sons, New York. Simon, A.L., 1976. Practical Hydraulics. John Wiley and Sons, Toronto.